向量坐标运算与数量积(答案).doc

向量的坐标表示及其运算、向量的数量积 基本概念总结： 向量的坐标表示及其运算 向量是既有大小又有方向的量。在平面内可用带箭头的线段来表示，线段长表示大小，箭头表示方向。两个向量可以根据平行四边形法则，三角形法则进行加，减运算，这始终是几何法。为了使向量运算代数化，数形结合，我们在平面内建立直角坐标系后，可以把其放置于坐标系中考虑。 平面内任意的向量都可以把它的起点移到坐标原点，平移后的向量与原向量相同。所以我们称所有始点为原点的向量为位置向量，这样就能将向量的位置确定下来，通过点的坐标，将向量的几何运算转化为代数运算，即坐标运算。 平面内任意的向量都唯一对应着与它相等的位置向量，位置向量由位置向量的终点确定。每一个位置向量的终点与平面内的点是一一对应的。 1）把与X轴正半轴同方向的单位向量记作，把与Y轴正半轴同方向的单位向量记作见图则 即它们的系数恰为向量的终点A的坐标，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作 2）有了向量的坐标，向量的运算可转化为向量的坐标运算 设 （1）； （2）； （3） 3）设点P和Q的坐标分别为和，则 ，则 如图 4） 已知P是直线上的点，且（为任意实数，且），的坐标分别为，求点P的坐标。 解：由，可知因为， 所以我们把这个公式叫做线段的定比分点公式。 （1）当时，点P在之间；当时，点P在或的延长线上。 （2），则。的正负由与的方向确定，当与的方向相同时，；当与的方向相反时，。 （3）特别地，当时，P为线段的中点，有中点公式 二、向量的数量积 1）对于两个非零向量和，如果以为原点，作，那么射线与的夹角叫做和的夹角，的取值范围是，当时，和方向相同，当时，和方向相反，当时，和方向垂直，记为。 如果两个非零向量与的夹角为，我们称为向量和的数量积，记为即；如果向量和有一个是零向量，我们规定。 （1）两个向量的数量积一定是一个数量，而不是向量； （2）在形式上，不可以写成或 （3）由定义：（当且仅当时，取等号） （这里向量与的夹角是） 2）根据向量的数量积的定义，可知两个非零向量与的夹角满足 （1）两个向量与垂直的充要条件是 （2）向量的数量积有：（1） （3）； （4） 3）设；； 两个向量与垂直的充要条件是，即。 三、平面向量的分解定理：如果、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数、，使。 应用举例： 已知：且满足，求的坐标。 解：设已知，得则，即 2．如图，已知平面上三点的坐标分别为，求点的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。 解：当平行四边形为时，得； 当平行四边形为时，得 当平行四边形为时，得 3．已知，且平行，求的值。 解：，由平行，得即解得。 4．已知三点点 （1）为何值时，点在正比例函数图象上？ （2）设点在第三象限，求的取值范围。 解：设P点的坐标为，则由知。又,，,。 (2)因为点在第三象限，所以 5．如图，已知点线段上三等分点依次为，求点的坐标以及所成的比。 解：设则，由定比分点公式得： 由可得解得：；同理由解得。 解（续）：方法一：几何法，确定长度比与方向。 方法二：代数法，由可得解得：； 同理由解得。 6．在，则下列推导不正确的是（ ） （A）若则为钝角三角形； （B）若则为直角三角形 （C）若则为等腰三角形 （D）若，则为正三角形 解：对于（A），的夹角对应于三角形的外角，所以（A）正确；（B）显然也是正确的；对于（C），由可得，即，由平行四边形法则，（如图），所以BD垂直平分AC，所以BA=BC，为等腰三角形，（C）也是正确的。对于（D），成立，但不能确定为正三角形，故选取（D） 7．已知都是非零向量，且与互相垂直，与互相垂直，求的夹角。 8．在直角坐标平面上的一列点，简记为. 若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列. 若为点列，且点在点的右上方. 任取其中连续三点，则△的形状为( ) （A）锐角三角形; 　(B) 直角三角形;　 (C) 钝角三角形; (D) 不确定 解:在△中，， . 点在点的右上方，， 为点列，， ，则. 为钝角， △为钝角三角形. 所以选取(C) 9.在中, 为中线上的一个动点,若,试求的最小值． 解：设，则， 为中线上的动点，　 故，　　 ， ，最小值是－2． 10．（1）已知非零向量，其中且与的夹角为，当为何值时， 取最小值。 解：设 则 当时，取最小值。所以当时，取最小值。 （2）非零向量为已知向量，当取最小值时，①求实数的值；②求证：与互相垂直。 解：①设则 当取最小值时，时，取最小值。 （2）因为，所以 故与互相垂直。