高数1-6闭区间上连续函数的性质选读.ppt

一、最值定理 推论. 定理3.(介值定理) 例1. 证明方程 例1. 证明方程 例2. 设 1. 设 备用题 * 一、最值定理 二、介值定理 第一章 第十节闭区间上连续函数的性质 定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上 即:设 则 使 一定有最大值和最小值. 注: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 则 使 或在闭区间内有间断点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 设 且 则对A 与B 之间的任一数 C , 使 至少有一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 . 证: 显然 又 故据零点定理,至少存在一点 使 即 在区间 内至少有一个根 . 一个根 . 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则 上连续 , 且恒为正 , 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必存在 上有界; 在 在 则 设 ) ( . 1 x f ] , [ b a ) ( . 2 x f ] , [ b a ) ( . 3 x f ] , [ b a 0 ) ( ) ( b f a f . 0 ) ( = x f , ) , ( b a ? x 小结 则 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 作业 P73 题 2 ; 3; 4 一点 , ] 2 , 0 [ ) ( a C x f ? , ) 2 ( ) 0 ( a f f = , ] , 0 [ a ? x . ) ( ) ( a f f + = x x , ) ( ) ( ) ( x f a x f x - + = j , ] , 0 [ ) ( a C x ? j 0 ) ( ) 0 ( ￡ a j j 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 . 1 ) ( 3 - - = - x e x x f [ ] , 4 , 0 ) ( 上连续 在闭区间 x f = ) 0 ( f 1 3 - - - e 1 4 3 4 - - - e = ) 4 ( f 0 3 - = e ) 4 , 0 ( , 0 ) ( = x f 使 , ) 4 , 0 ( ? x *