计算方法第一章..pptx

计算方法 Computational Method 中国石油大学（华东）理学院参考书目 (Reference) （1. 研究和创造算法，2. 使用算法）?计算方法（第二版） 同登科、周生田、张高民2009?数值计算引论（第二版） 白峰杉（高等教育出版社2010）?Numerical Analysis (Seventh Edition), R L Burden, J D Faires? 《MATLAB》 任何一本较新点的参考书 课程评分方法 (Grading Policies)? 作业成绩 (20%)? 程序实验成绩 (20%) ? 期末考试成绩 (60%)§1 误 差 /* Error */一、 误差的来源与分类 /* Source Classification */ 1、从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 3、数学模型与数值算法之间的误差求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */（绝对误差/* absolute error */） 设 为真值（精确值）， 为 的一个近似值 称 为近似值 的绝对误差，简称误差。 ?绝对误差限/* accuracy */——绝对值的上界如：二、 误差分析的基本概念 /* Basic Concepts */?注：?误差可正可负，常常是无限位的?绝对误差还不能完全表示近似值的好坏（相对误差/* relative error */ ）近似值 的误差 与准确值 的比值：称为近似值 的相对误差，记作?注：?实际计算时，相对误差通常取?相对误差限——相对误差的绝对值的上界/* relative accuracy */称 有 位有效数字（有效数字/*Significant Digits*/ ）若近似值 与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有 位，则3位6位?相对误差也可正可负如：例1：有效数字与相对误差和绝对误差之间关系密切！问： 有几位有效数字？请证明你的结论。证明：43有 位有效数字，精确到小数点后第 位。注：0.2300可能有4位有效数字，而0.0023只有2位有效数字。12300如果写成0.123?105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！计算下列多项式的值例3为已知数据输入数据为 ，输出数据为 ，若直接由 算出 ，再乘相应的系数 并相加，则要做次 乘法和 次加法，占用个存储单元。 秦九韶方法，也称为Horner算法 只用 次乘法和 次加法，并占用 个存储单元 三、数值算法及稳定性 /* Numerical Algorithm and Stability */分析：近似计算例4大家一起猜？取S4R4 /* Remainder */则称为截断误差 /* Truncation Error */解法之一：将 作Taylor展开后再积分| 舍入误差 /* Roundoff Error */ |= 0.747… …1 / e1由留下部分/* included terms */引起由截去部分/* excluded terms */引起（数值稳定性/* Numerical Stability */） 一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的。 计算例5则初始误差记为? 公式一：此公式精确成立What happened?!???? !! !考察第n步的误差初始的小扰动迅速积累，误差呈递增趋势。造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */我们有责任改变。方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。可取? 公式二：注意此公式与公式一在理论上等价。取考察反推一步的误差：以此类推，对 n N 有：误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性将会是一个非常重要的话题。两个近似数 ，四则运算得到的误差限分别为（1）§2 误