西北工大计算方法第一章.ppt

本课程的学习方法尽管本课程所讲算法是很有限的，但许多初学者可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。在此，我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。认识对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。注重各章节所研究算法的提出，搞清楚问题的基本提法、逐步深入的层次及提法的正确性。理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。认真进行数值计算的训练。1.2误差知识内容提要：误差的来源及其分类误差的度量误差的传播单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，请尽量言简意赅地阐述观点。0102一、误差来源及其分类1)模型误差（描述误差）反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。2）观测误差数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。例如：3）截断误差（方法误差）数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。舍入误差在实现数值方法的过程中，由于计算机表示浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。如利用计算机计算e的近似值en时，实际上得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部分：二、误差的度量绝对误差01相对误差02有效数字03度量间的关系041.绝对误差绝对误差定义：准确值减近似值绝对误差限：2.相对误差Remark:绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏。3.有效数字为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引出有效数字和有效数的概念。有效数：当x*准确到末位，即n=p，则称x*为有效数。举例：x=π,x1*=3.141,x2*=3.1423位有效数字，非有效数4位有效数字，有效数Remark1:有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。Remark2:对真值进行四舍五入得到有效数。Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。Remark4:从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。例从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。4.误差度量间的联系绝对误差与有效数字绝对误差与相对误差相对误差与有效数字定理证明证毕Remark该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。仅从并不能保证x*一定具有n位有效数字。如设其近似值a=0.484，其相对误差为：我们并不能由此断定a有两位有效数字，因为例题解：概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播。误差传播的表现：算法本身可能有截断误差；初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差；每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差；误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长；运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算。三、数值运算的误差估计初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。研究方法：泰勒（Taylor）方法n元函数复习泰勒公式5）初值误差由于初始值选取不合理所造成的最终结果的差异。01020304教材：李信真，车刚明，欧阳洁，封建湖，计算方法，西北工业大学出版社参考书：1、封建湖，车刚明，计算方法典型题分析解集（第二版），西北工业大学出版社，2001.封建湖，聂玉峰，王振海，数值分析导教导学导考，西北工业大学出版社，2003.作业：计算方法作业集（A、B）课时数：32第一章绪论内容提要1.1计算方法的任务与特点1.2误差知识1.3选用算法时应遵循的原则1.1计算方法的任务与特点建立数学模型模型的适定性:数学模型解的存在性（模型内部没有蕴含矛盾）