计算方法-第一章.ppt

* 引例 例1: y = arctan5430 – arctan5429的准确值为: 0.0000000339219··· ? 0.339?10–7 第一章 误 差 例2: 计算下面积分的值( n = 0, 1, 2, ··· ): 积分In的值必定落在区间[0, 1]内, 我们由被积函数及其图形作出判断. 但是, 用具有八位舍入功能的计算器直接计算得 y ? 1.5706122 – 1.5706121 = 0.0000001 = 1?10–7 所得计算结果的可靠性值得怀疑. 这一结果的产生是由于四舍五入造成的. 由分部积分法可得: 如果取 I0 = 1–e–1 = 0 (八位有效数字). n=1,2,4,6, 8,10,15 利用递推公式进行计算得: 例3: 对于一元二次方程 x2 –(109+1)x+109= 0 有两个精确的实根: x1= 109, x2= 1. 如果在有仅八位的浮点计算机上用求根公式: 其中的x2=0明显失真, 这也是由于舍入误差造成的. 直接进行计算则得: x1=109, x2=0. 实际 问题 建立数 学模型 确定计 算方法 编程 上机 由抽象简 化产生的 模型误差 及参数的 观测误差 由计算方 法本身产 生的截断 误差或称 方法误差 计算过 程中产 生的舍 入误差 §1 误差的来源 例如用级数 的前三项计算 sinx 的近似值, 则截断误差为： 由于计算机的字长有限, 用0.166667近似表示1/3!, 就会产生舍入误差. 即取 §2 误差的概念 一、绝对误差与绝对误差限 设x*为准确值(也称为真值) x 的一个近似值, 则称 x–x*为近似值 x*的绝对误差, 简称为误差, 并记作 e(x*) = x–x*。 满足不等式 |e(x*)| = | x–x*| ? ?*的正数?*称为近似值 x*的绝对误差限, 简称为误差限. 在工程技术中常记作 x=x*±?*。 例如, 电压V=100±2(V), V*=100(V)是V的一个近似值, 2(V)是V*的一个误差限, 即 | V–V*| ? 2(V) 对于两个数值 x1=100±2, x2=10±1 近似值x1*=100的绝对误差限?*(x1*)=2是近似值x2*=10的绝对误差限?*(x2*)=1的两倍. 但是,近似值100的偏差不超过2, 而近似值10的偏差不超过1. 哪个近似值的精度好呢？ 二、相对误差与相对误差限 设x的近似值为x*, 则称x*的绝对误差e(x*)与精确值x的比值为近似值x*的相对误差, 并记作er(x*), 一个近似值的精度不仅与绝对误差的大小有关, 还与精确值的大小有关. 为此我们需要引入相对误差的概念. 同样, 由于精确值 x 经常是未知的, 所以, 需要另外的近似表达形式. 我们注意如下公式的推导, 较小时, 有 当 即 的同阶无穷小, 故可忽略不计. 当x*?x 时, 即e (x*)?0 时, 上式是 作为近似值 x*的相对误差. 的正数?r*称为近似值 x*的相对误差限. 满足不等式 通常将 例如: x1=100±2的近似值 x1*=100的相对误差为 而 x2=10±1的近似值 x2*=10的相对误差为 因此, 从相对误差来讲近似值x1*比x2*的精度要好. 若近似值 x*某位数数值的半个单位是其绝对误差限, 而从该位数字到x*的最左边的非零数值数位止, 共有n位数, 则我们称这个近似值 x*具有n位有效数字. 例如, ? =3.141592···, x*= 3.14的绝对误差 |e(x*)|= 0.00159···? 0.01?1/2, 即“4”所在的百分位的半个单位0.01?1/2 是x*的绝对误差限, 故x*的最左边的非零位数(个位)“3”到百分位“4”共有三位, 所以x* = 3.14具有3位有效数字. 有效数字位数越多, 近似值的绝对误差和相对误差就相对越小, 反之亦然. 三、有效数字及其位数 §3 误差的传播规律 设x1*, x2*分别为x1, x2的近似值, 函数值 y=f(x1, x2)的近似值用y*=f (x1*, x2*)表示. 利用函数f (x1, x2)在点(x1*, x2*)处的二元泰勒展开公式, 对y*的绝对误差和相对误差进行分析. 近似值y*的绝对误差的近似表达式为: 当