【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第五章 第五节数列的综合应用.ppt

【规范解答】(1)由题意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d， a2=a1(1+50%)-d= ∴ (2)方法一：由(1)得，当n≥2时， 整理得 由题意，am=4 000, ∴ 解得 故该企业每年上缴资金d的值为 时， 经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元. 方法二：由于 设 化为 与 比较可得λ=-2d， 故 这说明数列{an-2d}是以 a1-2d=3 000-3d为首项, 为公比的等比数列， 所以 即 (下同方法一). 【拓展提升】解答数列实际应用问题的步骤 (1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征见下表： 指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{an}满足an+1=1.2an-a 简单递推 数列 指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题 等比数列 均匀增加或者减少 等差数列 基 本 特 征 数列模型 (2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确. (3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点. 【变式训练】某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等 原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预 测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年年初该企业 一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改 造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为 万元(n为正整数). (1)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(需要扣除技术改造资金)，求An,Bn的表达式. (2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 【解析】(1)依题意知，数列{An}是一个以480为首项，-20为公差的等差数列， 所以 (2)依题意得，BnAn， 即 可化简得 设 又∵n∈N*，f(n)是减函数，g(n)是增函数， 又 ∴n≥4,n∈N*，所以至少经过4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 考向 3 数列与函数、不等式的综合应用 【典例3】已知函数f(x)=ln(1+x)-x，数列{an}满足： a1= ln 2+ln an+1=an+1an+f(an+1an). (1)求证：ln(1+x)≤x. (2)证明数列 为等差数列，并求数列{an}的通项公式. (3)求证不等式：a1+a2+…+ann+ln 2-ln(n+2). 【思路点拨】(1)求函数导数,利用函数的单调性证明. (2)根据函数关系把数列的递推关系找出来，利用变换的方法 将递推关系转化为等差数列或等比数列的关系解决. (3)根据(1)(2)的结果分析探究. 【规范解答】(1)f(x)=ln(1+x)-x,f′(x)= 当-1x0时，f′(x)0，即y=f(x)是单调递增函数； 当x0时，f′(x)0，即y=f(x)是单调递减函数. 即f(0)是极大值，也是最大值. f(x)=ln(1+x)-x≤f(0)=0?ln(1+x)≤x,当x=0时取到等号. (2)由ln 2+ln an+1=an+1an+f(an+1an)得 2an+1=an+1an+1， 即数列 是等差数列，首项为 公差为-1， (3)a1+a2+…+an 又∵x0时，有xln(1+x), 令 则 ∴a1+a2+…+ann+ln 2-ln(n+2). 【拓展提升】数列中不等式的处理方法 (1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式. (2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到. (3)比较方法：作差或者作商比较. (4)数学归纳法：使用数学归纳法进行证明. 【变式训练】(1)已知an=2n-1，求使不等式 对一切n∈N*均成立 的最大实数p. 【解析】由题意得 对n∈N*恒成立， 记 ∵F(n)0,∴F(n+1)F(n),即F(n)随n的增大而增大, F(n)的最小值为F(1)= ∴p≤ 即pmax= (2)已知an=(n