2012高考总复习数学文科新人教A版课件第六单元第五节数列的综合应用.ppt

第五节 数列的综合应用 * 基础梳理 1. 解答数列应用题的基本步骤 （1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意; （2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么; （3）求解——求出该问题的数学解; （4）还原——将所求结果还原到原实际问题中. 2. 数列应用题常见模型 （1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定值时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差.其一般形式是：an+1-an=d(常数). (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.其一般形式是: ×100%=q(常数). (3)混合模型：在一个问题中同时涉及到等比数列和等差数列的模型. （4）生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少）,称该模型为生长模型，如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等. （5）递推模型：如果容易推导该数列任意一项an与它的前一项an-1（或前n项）间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的知识求解问题. 基础达标 1. 若a,b,c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 解析：a,b,c成等比数列，∴b2=ac,则b2-4ac=-3b2＜0,即交点个数为0. 2. 随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔 2年电脑的价格降低三分之一，则现在价格为8 100元的电脑6年后的价格可降为 ( ) A. 2 400元 B. 2 700元 C. 3 000元 D. 3 600元 解析：8 100×1-133=2 400元. A A 3. (教材改编题)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，则这个多边形的边数是( ) A. 3 B. 4 C. 5或9 D. 4或9 解析：设边数为n,则60°n+n(n-1)2·20°=（n2)·180°，解得n=4或9. 又∵an=60°+(n-1)·20°＜180°, ∴n=4. B 4. 将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是__________. 经典例题 题型一 数列的实际应用 【例1】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?（参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59） 解（1）设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列， 其中a1=250,d=50, 则Sn=250n+ ×50=25n2+225n, 令25n2+225n≥4 750, 即n2+9n-190≥0,而n是正整数，∴n≥10, ∴到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米. （2）设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400,q=1.08, 则bn=400·(1.08)n-1. 由题意可知an＞0.85bn, 有250+(n-1)·50＞400·(1.08)n-1·0.85. 当n=5时，a5＜0.85b5, 当n=6时，a6＞0.85b6， ∴满足上述不等式的最小正整数n为6. ∴到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 题型二 等差数列与等比数列的综合应用 【例2】设数列{an}的前n项和为Sn,且(3- m)Sn+2man=m+3(n∈N*),其中m为常数，m≠-3,且m≠0. (1)求证:{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比满足q=f(m)且b1=a1,bn= f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求证: 为等差数列，并求bn. 证明 （1）证明：由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,两式相减，得(3+m)·an+1=2man(m≠-3), ∴ = , 当n=1时，(3-m)a1+2ma1=m+3,得a1=1≠0