《学案与测评》2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第十单元第五节 直线、平面垂直的判定及其性质.ppt

* 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 基础梳理 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的 一条直线都垂直,就说直线a与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条 垂直,那么这条直线垂直于这个平面. (3)直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 . 任意 相交直线 平行 2. 点面、线面距离及线面角 (1)点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线, 的距离,叫做这个点到这个平面的距离. (2)直线和平面的距离 一条直线和一个平面 ,这条直线上 到这个平面的距离,叫做这条直线和这个平面的距离. (3)直线与平面所成的角 ①平面的一条斜线与它在这个平面内的 所成的 ,叫做这条直线与这个平面所成的角. ②一条直线 于平面,则称它们所成的角是直角;一条直线与平面 或 ,则称它们所成的角是0°的角. 这个点和垂足间 平行 任意一点 射影 锐角 垂直 平行 在平面内 3. 二面角及其平面角 4. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是 ,那么就说这两个平面互相垂直. (1)二面角的定义 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ,这条直线叫做二面角的 ,每个半平面叫做二面角的 . (2)二面角平面角的定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 . 二面角 棱 面 平面角 直二面角 (2)平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的 ,那么这两个平面互相垂直. 典例分析 题型一 线线垂直 【例1】如图,α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A, EB⊥β,垂足为B,求证:CD⊥AB. 分析 要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可. (3)平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面. 一条垂线 交线 证明 ∵α∩β=CD,∴CDα,CDβ. 又∵EA⊥α,CDα,∴EA⊥CD. 同理EB⊥CD. ∵EA⊥CD,EB⊥CD,EA∩EB=E, ∴CD⊥平面EAB. ∵AB平面EAB, ∴AB⊥CD. 学后反思 证明空间中两直线互相垂直,通常先观察两直线是否共面.若两直线共面,则一般用平面几何知识即可证出,如勾股定理、等腰三角形的性质等;若两直线异面,则转化为线面垂直进行证明. 举一反三 1. 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在的平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G. 求证:AE⊥SB,AG⊥SD. 证明： ∵SA⊥平面ABCD, BC 平面ABCD, ∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB. 又∵AE平面SAB,∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AEFG,AE平面AEFG,∴SC⊥AE. ∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.又∵SB平面SBC, ∴AE⊥SB.同理可证,AG⊥SD. 题型二 线面垂直 【例2】如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F. 求证:(1)BC⊥平面PAB; (2)AE⊥平面PBC; (3)PC⊥平面AEF. 分析 要证明线面垂直，只要证明这条直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可. 证明 (1)PA⊥平面ABCPA⊥BC AB⊥BC BC⊥平面PAB. PA∩AB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AE⊥BC AE⊥PB AE⊥平面PBC. PB∩BC=B (3)PC平面PBC,由(2)知PC⊥AE PC⊥AF  PC⊥平面AEF. AE∩AF=A 学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可先证线线垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直.在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关重要的作用.由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在平面的特征,以顺利实现证明需要的转化. 举一反三 2. 已知P为Rt△ABC所在平面外的一点，且PA=PB=PC，D为斜边AB的中点，求证：PD⊥平面ABC. 证