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 关于复变函数中的“洛必达”法则 摘要：洛必达法则是计算未定式的一个重要法则，在复变函数中运用泰勒级数以及洛朗级数，从而将实变函数中的洛必达法则，推广到复变函数中。 关键词：未定式，洛必达法则，解析，泰勒级数，洛朗级数 正文： 在实变函数中，洛必达法则是计算未定式与，， 极限的有力工具，用它能解决大量未定型极限的计算问题。而在复变函数中，我们可以通过泰勒级数，洛朗级数为工具，来把实变函数洛必达法则引进来。 1.未定式的极限 定理1：设1）函数，在点a的某去心领域k-{a}内解析；2），，但；可以得到 证明：有定理条件可知，点a是，的可去奇点（因为，的极限值均为有限值），于是在k内的，的洛朗展开式 （m是自然数）， （n也是自然数） 而（m是自然数） （n也是自然数） 很显然 = 而对于该极限显然有三种情况： 若当m=n时，原式=； 若当mn时，原式=0； 若当mn时，原式=； 故当 同样对这种情况极限也有三种情况，并与上面的一样：1）若当m=n时，原式=； 2）若当mn时，原式=0； 3）若当mn时，原式=； 所以我们认为，在这个定理的条件下，上述结论是成立的。 定理二 设1），在点a的某去心领域k-{a}内解析； 那么 证明：在定理条件下，都满足定理一的条件，于是有 ，同理有，一直这样下去，直到 所以 定理三 设1），在无穷远点的某去心领域N-{}内解析； 但 可以得到 证明：由定理条件知，无穷远点是f(z),g(z)的可去奇点，因此有以下洛朗展开式 （m是自然数） （n也是自然数） 而 （m是自然数） （n也是自然数） 很显然 而对于该极限显然有三种情况： 1）若当m=n时，原式=； 2）若当mn时，原式=0； 3）若当mn时，原式=； 故当 同样也有三种情况，并与上面一样。所以， 是成立的。 未定式的极限 定理四 设1）函数，在点a的某去心领域k-{a}内解析；2），；如果极限存在，可以得到 证明：有定理知，a是f(z),g(z)的极点。所以通过洛朗展开是： （m是自然数） （n是自然数） 而 由于 而对于该极限显然有三种情况： 1）若当m=n时，原式=； 2）若当mn时，原式=0； 3）若当mn时，原式=； 故当 也有三种情况与上面一样 所以 定理五 设1），在点的某去心领域k-{}内解析； 那么 证明：在定理条件下，都满足定理一的条件，于是有 ，同理有，一直这样下去，直到 所以 定理六 设1），在无穷远点的某去心领域k-{}内解析； 2） 如果极限存在 可以得到 这个定理，可以做 ，当 时，也逐渐趋近于零，此时可以变化为 时的去心领域k-{0}内模仿即可，这里不再证明。 对于 ， 的极限，可以化成上述的类型进行计算。 结论：由上述论证可知，复变函数中也是存在洛必达法则的。而这个洛必达法则在很多复变函数的计算中都能够得到应用，比如在求孤立奇点的类型，可以通过求函数在奇点的极限值进行判断，但对于0/0型的函数，就可以去使用洛必达法则进行计算。除此之外，我们也会发现这种方法巧妙地避开了中值定理的证明，因为复变函数中的中值定理与实变函数中的中值定理是不一样的，不能够直接使用。同时，对于能够采取级数展开的一个很大的原因，就是解析函数可以任意阶求导，而实变函数中的函数（除了几个初等函数等），很难做到任意阶求导，这也就是为什么在实变函数中，我们采取中值定理进行证明。 参考文献： 华东师范数学系编.数学分析（第三版）[M].北京:高等教育出版社 2001 复变函数中的洛必达法则.晋中学院.吴琼.2006 高等数学（上）.同济大学编第六版.2007 附：积分中值定理和微分中值定理的证明 积分中值定理：设函数是凸区域内的解析函数，，是内的任意两点，则在与的连线段上至少存在两点，使得 . 证明 因为是区域内的解析函数，为凸区域，所以与的连线段，的方程 ， . 由复变函数积分计算法知