不定积分定积分及其应用习题课2012.pdf

不定积分、定积分及其应用 习题课 一．目的与要求 （1）理解原函数和不定积分的意义、性质以及原函数存在的条件； （2 ）熟练掌握不定积分计算方法（凑微分法，换元法和分部积分法）； （3 ）掌握一些特殊被积函数的不定积分计算方法（有理函数、三角 有理函数和某些无理函数等）； （4 ）理解定积分的概念及几何意义、物理意义； （5 ）理解函数可积的条件及可积函数的性质； （6 ）熟练掌握定积分计算方法（凑微分法，换元法和分部积分法）； 掌握一些特殊性质函数（奇偶函数，周期函数等）定积分性质； （7 ）能利用微元法（定积分的几何意义和物理意义）解决一些几何 问题（平面图形的面积、立体特别是旋转体的体积、旋转体的 侧面积、平面曲线的弧长、某些非均匀物体的质量等）和物理 问题（液体的静压力、变力作功、万有引力等）； （8 ）了解定积分的近似计算（矩形公式、梯形公式和抛物线公式）； （9 ）理解无穷区间上的广义积分和无界函数广义积分的定义和收敛、 发散的意义，掌握两类广义积分的计算方法。  （10）了解 -函数及其性质。 二．练习题 1. 计算下列不定积分： ln(1x) ln x x 3 x 1 sin x cos x （1） dx （2） 2 dx （3） dx x (1x) x  2 sin x  cos x 2. 计算下列定积分： 6 x 3 1 （1）0 x 6x x 2 dx （2）0 max( 1, t 2 ) dt 1   x    lim  1 cos(1x)dx 3. 求下列极限： （1）0      （2）   k n 2 n lim  n 1 k 1 n  k 1  1 2 n n lim u （3）设un （1 )（1 ) （1 ) ，求n n .  n n n  4. 设沙的比重为 吨/立方米，要堆成一个底面半径为R 米，高为H 米的圆锥形  沙堆，问至少需作多少功？ x L 5. 过坐标原点作曲线y e 的切线 ， L (1) 求 的方程； x L （2）以曲线y e ，切线 及 轴负向为边界构成的向左无限伸展的平面区域记 x D D 为 ，求 的面积； D （3）将 绕 轴旋转一周生成的旋转体记为 ，求 的体积． x V V