高等数学不定积分习题课.PPT

第四章 不定积分习题课 * 一、不定积分的基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 (1)原函数的定义： (2)不定积分的定义： 设 为 一个原函数，则 在区间 上，若 则称 是 在 上原函数。 2．不定积分的性质 (1) 线性性质： (2) 微分与积分运算： 二、基本计算方法 1．直接积分法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。 2．第一类换元法（凑微分法）： 设 ，则 3．第二类换元法（变量置换法）： 第二类换元法： 三角代换 倒代换 简单无理函数代换 注意：式中 回代。 必须单调可导，对t作完积分后, 要用反函数 5．有理函数的积分法： 积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使 4．分部积分法： 或 变为一次分式和二次分式的代数和。 之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，使之 6．万能公式法： 如果被积函数是三角函数有理式 则可采用万能公式。 令 则 从而 ☆ 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可 以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。 三、典型例题 、 【例1】 设 是 的原函数， 求 解： 由于 是 的原函数， 故 令 ，则 【例2】 求不定积分 解： 利用不定积分的性质 ，可知 【例3】 求不定积分 解： 分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微 然后可利用基本公式。 分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形， 【例4】 求不定积分 解： 【例5】 求不定积分 然后利用凑微分法。 分析：一般情况下首先分母要进行有理化， 解： 【例6】 求不定积分 分析：此题属于 型，故凑 解： 【例7】 求不定积分 解： 【例8】 求不定积分 分析：由于被积函数 ，不能直接利用 基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数 进行代数恒等变形为： 或 ，再想到凑微分： 或 ，然后进行计算。 中含有 另外，由于 ，不能直接计算，可以考虑 换元 或 ，然后再进行计算。 解法1：因为 所以 解法2：因为 所以 解法3：令 ,则 于是 【例9】 求不定积分 解法1：(倒代换）设 则 则 【例10】 求不定积分 解法2：(三角代换)设 则 解： 【例11】 求不定积分 分析：若取 积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点， 显然可以利用分部 先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。 解：原式 注意 运算中综合使用不同方法往往更有效.]。 【例12】 求不定积分 分析：由于被积函数中含有根式 ，所以首先要令 把根式去掉，然后选择合适的方法计算。 另外，观察被积表达式的特点，由于 所以可应用分部积分法计算。 解法1： 令 ，则 所以应用分部积分法 所以 解法2： 因为 所以应用分部积分法 【例13】 求不定积分 解： 【例14】 求不定积分 分析：设 ，则 由于 中含有 和 ，所以令 或 去掉根式，然后选择适当的计算方法。 进行恒等变形 然后运用基本积分公式就可以计算。 另外，可对 *