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第五章 利率理论本章概述　　本章主要介绍利率的有关理论，包括利率的期限结构和债券理论。首先，我们结合零息票介绍了单利、复利、连续复利和利率的期限结构曲线。利率的期限结构 是现代金融理论中非常重要的一部分内容，也是至今学术界仍然再研究的一个领域。根据利率期限结构解释理论中的预期理论，影响利率期限结构的一个主要因素就 是短期利率未来的变化，因此本章还介绍了利率的跨时演进模型，以及如何在无套利均衡下，通过短期利率的变化构造整个期限结构曲线。最后，本章还介绍了债券 的定价，在介绍债券三种定价思路的基础上，引进了债券的久期和凸度的概念。 第一节 利率的期限结构1.1 零息票收益率和利率期限结构曲线一、单利、复利和连续复利　　在计算利率的时候，如果利息并不产生利息，也即前期的利息并不重新再投资，则可以得到单利，反之则得到复利。　　假设数额A以利率R投资了n年。如果一年计一次复利，则上述投资的终值为：　　 　　如果每年计m次复利，则终值为：　　 　　当m趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuous compounding），此时的终值为　　 　　其中，e约等于2.71828。　　表5－1显示了提高复利频率所带来的效果。从表中可以看出，连续复利（精确到小数点后两位）与每天计复利的效果一样。因此，实际运用中通常可以认为连续复利与每天计复利等价。表5－1　复利频率与终值提高计复利的频率对100元在一年末终值的影响，利率为每年10% 复利频率100元在一年末的终值（单位:元，取两位小数）　　 每一年（m=1）　　 每半年（m=2）　　 每季度（m=4）　　 每 月（m=12）　　 每 周（m=52）　　 每 天（m=365）　　 连续复利　　 110.00　　 110.25　　 110.38　　 110.47　　 110.51　　 110.52　　 110.52　　 假设是连续复利的利率，是与之等价的每年计m次复利的利率，从上式可得：　　 　　　　　或　 　　　 这意味着：　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用以上两个式子，我们就可以实现每年计m次复利的利率与连续复利之间的转换。　　 特别地，当m=1时，　　 　　 二、零息票收益率　　零息票是指到期日以前没有利息的债券，这种债券面值和当前价格的比值反映的收益率暗含了期限为到期日的复利大小。　　不同到期日零息票的收益率和到期日之间的关系构成了利率的期限结构曲线。　　 三、利率期限结构曲线的变化　　利率期限结构是市场对未来短期利率变化的预期的反映，与短期利率有着密切的关系。由于短期利率的变化是多样的，因此导致利率期限结构随着时间的演变也 是复杂的。经过理论分析和实证研究发现，期限结构的变化可以分解为以下几种典型变化：平行移动，也即不同到期期限的利率全部增加或者减少相等的数值；陡缓 变化，也即短期利率变化和长期利率变化幅度不同，短期的幅度小，曲线变平缓，反之曲线变陡峭；蝶式变化，也即中期利率变化和长期短期利率变化幅度不同，像 蝴蝶扇动翅膀一样；还有一种特殊变化，也即短期端变化，中长期利率不发生变动。四、几种解释理论　　对于利率期限结构的解释，一直都是金融学争论的重要领域。一般有三类解释，分别是：预期理论、流动性偏好理论和期限偏好理论。　　预期理论又分为完全预期理论和有限预期理论。而期限偏好理论一般强调不同期限的债券形成了不同的分割市场，不同投资者在不同市场交易，从而形成相互之间没有关系的短期、中期和长期利率。1.2 利率的跨时演变模型一、连续时间模型　　短期利率的跨时演变模型有Ho-Lee模型、Salomon Brothers模型、Black-Derman-Toy模型和Black-Karasinski模型。这些模型有连续时间版本和离散时间版本。经过多年的实证研究，研究者发现均值回复过程能够比较好的描述短期利率变动，也即：　　 　　在无套利均衡条件下，不同到期期限的零息票和短期利率之间满足以下仿射关系：　　 二、离散时间模型与多步二叉树　　一般我们用多步的二叉树模型来描述利率的跨时演变。如下图：　　 　　假设每一步演变有两种情况，记第n+1期的T期利率相对第n期T期利率的上涨比率和下跌比率分别为：U(T)和D(T)， U(T)D(T)=1；T=1时，即为第n+1期的短期利率相对第n期短期利率的变化比率，记U(1)=U和D(1)=D。三、利率期限结构曲线和利率的跨时演变　　记第n期还剩T期的零息票价格为：，该债券在第n+1期还剩T-1期，价格为：。　　假设未来两种情况，未来价格相对当前价格上涨比率u(T-1)和下跌比率d(T-1)分别满足：　　 　　 　　 则　　 　　 　　根据多步二叉树的构造方法，我们知道第n期还剩T期到期的零息票到第n+2期的价格可以经过上涨