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第五章板壳理论.ppt

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第五章 各项异性板 各向异性体的物理方程 各向异性的平面应力问题 各向异性的小挠度弯曲问题 小挠度弯曲问题的经典解法 变分法解小挠度弯曲问题 屈曲问题和振动问题 §5.1各向异性体的物理方程 各向同性体:如果所有各个方向的材料参数都相同,就称为各向同性体。 各向异性体:如果所有各个方向的材料参数都不完全相同,就称为各向异性体。 极端各向异性体:如果任意两个方向的材料参数都不完全相同,就称为极端各向异性体。 在极端各向异性体中,每个应力分量都将引起全部6个应变分量。物理方程将取如下的普遍形式: §5.1各向异性体的物理方程 有36个刚度系数Cij,但是由张量分析或实验测量,可以证明Cij= Cji。于是物理方程中只有21个独立的刚度系数。 如果材料存在对称面,则弹性常数将会减少。xy面是弹性对称面,垂直于xy面的z轴为弹性主向。由对称性可知,应力分量 都不会引起 和 ,因为上述四个应力分量是对称于xy面的,而上述应变分量是反对称于xy面的。所以物理方程简化为: §5.1各向异性体的物理方程 独立的刚度系数有13个。 正交各向异性体:如果弹性体具有三个相互正交的三个弹性对称面,也就是具有互相正交的三个弹性主向,则该弹性体称为正交各向异性体。 以三个弹性主向为坐标轴,物理方程得到进一步简化 §5.1各向异性体的物理方程 独立的刚度系数有9个。正应变只与正应力有关,剪应变只与相应的剪应力有关。 §5.2各向异性板的平面应力问题 薄板的平面应力问题:当薄板在边界上受有平行于板面且不沿厚度变化的面力,同时,体力也平行于板面且不沿厚度变化。 假设薄板的中面xy面是对称面,则整个薄板都有: 应力分量 只是x和y的函数。 平衡方程: 如果体力X和Y都是常数,则应力分量变为: §5.2各向异性板的平面应力问题 几何方程仍为: 上式消去位移分量,得到相容方程: 由于平面应力问题的 ,所以各向异性板平面应力问题的物理方程为: 把用应力函数表示的应力分量代入上式,再代入相容方程 §5.2各向异性板的平面应力问题 得到用应力函数表示的相容方程: 如果应力函数取为x和y的不超过3次幂的多项式,总可以满足相容方程,应力分量与刚度系数(弹性常数)无关,对应于应力边界问题,各向异性板的应力分量与各向同性板中完全相同。但是应变和位移不同。 如果应力函数中包含x和y的4次幂或4次幂以上的项,则应力分量与刚度系数(弹性常数)有关,与各向同性板中并不相同。 §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 即便是各向异性的薄板,只要它的中面是对称面,并且挠度远小于厚度,原来薄板小挠度弯曲理论的假设仍然可用,因此几何方程仍为: 但物理方程却不同,各向异性板小挠度弯曲问题的物理方程写为: 和平面应力问题的物理方程相同,利用几何方程和物理方程,得到用挠度表示的应力分量 §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 其中: §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 而: 将弯矩和扭矩用挠度表示为: §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 薄板平衡方程与材料参数没有关系,所以针对各向同性板导出的平衡方程也适用于各向异性板 把用挠度表示的弯矩及扭矩表达式代入上式得: 对于正交各向异性板,物理方程简化为: 应力分量为: §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 将几何方程代入得应力分量与挠度的关系: §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 用挠度表示的弯矩及扭矩表达式为: 其中: §5.3各向异性板的小挠度弯曲问题 代入薄板弯曲平衡方程得 其中: §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 在各向异性板中,只有正交各向异性板可以用经典方法求解。 四边简支矩形薄板,假定弹性主向和边界平行,取坐标轴如下图所示,边界条件方程为: 挠度表达式取为: §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 满足所有边界条件: 将横向载荷q展开成同一形式的双三角级数得到 其中 代入到正交各向异性板的小挠度弯曲微分方程: 再将方程两边 的系数进行对比,得到 §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 当 时,变为各向同性板的解答: §5.4 小挠度弯曲问题的经典解法 如果不是正交各向
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