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【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第五章 第一节 数列的概念和简单表示突破热点题型 文.doc

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第一节 数列的概念与简单表示 考点一 由数列的前几项归纳数列的通项公式   [例1] 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…; (3),,-,,-,,…. [自主解答] (1)数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). (2)数列变为,,,…, 故an=. (3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为-, 原数列化为-,,-,,…, 故an=(-1)n. 求数列的通项公式应关注的四个特征 (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、化归、联想. 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,…; (2),,,,,…; (3)-1,,-,,-,,…. 解:(1)各项减去1后为正偶数,an=2n+1. (2)每一项的分子比分母小1,而分母组成数列21,22,23,24,…,an=. (3)数列的奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含有因式(-1)n,各项绝对值的分母组成数列{n},分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1. an=(-1)n. 考点二 由递推关系式求通项公式   [例2] 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an=an-1(n≥2); (2)a1=2,an+1=an+3n+2; (3)a1=1,an+1=3an+2; (4)a1=,an+1=. [自主解答] (1)an=an-1(n≥2), an-1=an-2,…,a2=a1. 以上(n-1)个式子相乘,得 an=a1×××…×==. (2)an+1-an=3n+2, an-an-1=3n-1(n≥2), an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(n≥2). 当n=1时,a1=×(3×1+1)=2符合公式, an=n2+. (3)an+1=3an+2, an+1+1=3(an+1),即=3. 数列{an+1}为等比数列,公比q=3. 又a1+1=2,an+1=2×3n-1. an=2×3n-1-1. (4)an+1=, =+, -1=. 又-1=, 是以为首项,为公比的等比数列, -1=·=, an=. 由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an; (2)已知a1且=f(n),可用“累乘法”求an; (3)已知a1且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为{an+k}为等比数列; (4)形如an+1=(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 1.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=(  )                      A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 解析:选A 由已知,an+1-an=ln,a1=2, an-an-1=ln(n≥2), an-1-an-2=ln, … a2-a1=ln, 将以上n-1个式子相加,得 an-a1=ln+ln+…+ln=ln=ln n, an=2+ln n(n≥2),经检验n=1时也适合. 2.若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(nN*),则数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选B an+1-an=-3,数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设前k项和最大,则有 ∴≤k≤, k∈N*,k=7.故满足条件的n的值为7. 考点三an与Sn关系的应用   1.an与Sn关系的应用是高考的常考内容,且多出现在选择题或填空题中,有时也出现在解答题的已知条件中,难度较小,属容易题. 2.高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度: (1)利用an与Sn的关系求通项公式an; (2)利用an与Sn的关系求Sn. [例3] (1)(2012·全国高考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=(  ) A.2n-1 B.n-1 C.n-1 D. (2)(2013·新课标全国卷)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________. (3)(2013·湖南高考改编)设Sn为数列
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