i.i.d随机变量随机和的数字特征.pdf

维普资讯 Vo1．11。No．3 高等数学研究 May，2008 STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICS 15 i．i．d随机变量随机和 的数字特征 ’ 王慧丽 (西北工业大学应用数学系西安710072) 摘 要 讨论了 i．i．d的随机变量随机和的数学期望和方差、特征函数 以及矩母函数的计算公式 。并对求和个 数服从几何分布和 Possi0n分布 ，随机变量服从指数分布时给出了直接结果． 关键词 随机和}数学期望 ；方差}特征函数 ，矩母函数． 中图分类号 O211．5 一 引言 学了概率论和数理统计，我们对独立同分布的随机变量的有限和∑x有了进一步的认识，得 f# l 到有限和∑x的数学期望，方差等数字特征的计算公式．但是在现实生活中，我们所遇到的问题 i罩 l 并非都可用有限和来描述，比如，对保险公司来说，要考虑到某一时刻 t为止的总索赔，即使假设每 次索赔额 Xti．i．d，由于到时刻 t为止索赔次数是随机的，那末总索赔可表示为 S(￡)一 随机的，而 s(￡)的期望、方差等数字特征如何计算呢?下面我们给出计算公式． 二 主要结论 N 定理1 设S=’∑x，其中x是独立同分布的随机变量，N是取非负整数值的随机变量，则 i 有 E(S )= E(N)E(X) Var(SN)一E(N) ，-(x)+ r(N)[E(xf)] ㈨∑ 证 明 X N ∞ N 电 E(SN)一E(∑x)一∑E(∑xlN—n)P(N— )一 l 0 i# 1 是 ∑E(∑x)P(N— )一∑nE(X)P(N— )一E(X，)E(N) H一 0 j毫 l H— O 。。 N 。。 H E(s)一∑E{[∑x]lN—n}P(N— )=∑E{[∑x])P(N— )一 ¨一0 I— l H互0 i 1 E{xl。+x + …+x：+2xlx2+ …+2x，rlx }P(N — )一 nE(Xj)P(N— )一E(X)E(N) ”= 0 Var(sN)一E(SN)一 [E(sN)]一E(X；)E(N)一 [E(N)][E(x)]。= E(X；)E(N)一 [E(X)]E(N)+ [E(x)]。E(N)一 [E(N)]。[E(x)]。一 E(N) r(X)+ r(N)EE(Xf)] 注 若 X 是同分布的随机变量，JD—Corr(X ， )，则在定理 1的条件下，由期望和方差的定 - 收稿 日期 ：2006--05—31