随机变量的数字特征3.ppt

* * * 大 数 定 律 在大量的随机现象中，随机事件的频率具有稳定性 大量的随机现象的平均结果具有稳定性 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number) 切比雪夫（Chebyshev)不等式 设随机变量X具有有限数学期望EX和方差DX，则 对于任意正数 ，如下不等式成立。 ——切比雪夫不等式 证明 设X为连续型随机变量，其密度函数为 则 证毕 切比雪夫（Chebyshev)不等式的应用 在随机变量X的分布未知的情况下，只利用X的期望 和方差，即可对X的概率分布进行估值。 例 已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数的平均 值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每 毫升血液含白细胞数在5200~9400之间的概率。 解 设X表示每毫升血液中含白细胞个数，则 则 而 所以 设随机变量X的方差为2.5， 利用切比雪夫不等式估计概率 练习 设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率 解 样本平均数稳定性定理 定理 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立， 且服从同一分布，并具有数学期望 及方差 ，则对于 任意正数 ，恒有 观测量X在相同的条件下重复观测n次，当n充分大时， “观测值的算术平均值接近于期望”是一大概率事件。 即 依概率收敛于 即n充分大时， ——辛钦大数定理 伯努利大数定理（频率的稳定性） 定理 设 是n次独立试验中事件A发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 恒有 定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定 事件A在每次试验中出现的概率 中心极限定理（Central limit theoem) 客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分 布，且有有限的数学期望 和方差 ，则随机变量 的分布函数 满足如下极限式 定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管 服从什么分布，只要它们是同分布， 且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这 些随机变量之和 近似地服从正态分布 例 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变 量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm， 均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合 格，试求产品合格的概率。 解 设部件的总长度为X，每部分的长度为 Xi（i=1,2,…,10)，则 由定理4.5可知：X近似地服从正态分布 即 续解 则产品合格的概率为 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace) 定理 设随机变量 服从二项分布 ，则对 于任意区间 ，恒有 二项分布的极限分布是正态分布 即如果 ，则 一般地， 如果 ，则 例 现有一大批种子，其中良种占1/6，今在其中任选 6000粒，试问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差 小于1%的概率是多少？ 解 设取出的种子中的良种粒数为X，则 所求概率为 * *