内积空间的基础概念.doc

第四章　空间 一　内积空间的基本概念 　设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足 ；＝0，当且仅当　； ＝； ； ＝＋； 称是上的一个内积，上定义了内积称为内积空间。 定理1.1设是内积空间，则对任意有： 。 设是内积空间，对任意，命 则是上的一个范数。 　例　设是区间上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意，定义 则与类似，是一个内积，由内积产生的范数为 上一个内积介不是空间。 定理1.2　设是内积空间，则内积是的连续函数，即时，，。 定理1.3　设是内积空间，对任意，有以下关系式成立， 平行四边形法则： ＋＝2； 极化恒等式： ＝（－＋－ 定理1.4　设是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在中定义一个内积，使得由它产生的范数正是中原来的范数。 二　正交性，正交系 1 正交性 　　设是内积空间，，如果，称与正交，记为。 设是的任意子集，如果与中每一元正交，称与正交，记为；如果是中两个子集，对于任意，称与正交，记。设是的子集，所有中与正交的元的全体称为的正交补，记为。 定理2.1　设是内积空间 如果，且，则＝＋； 如果是的一个稠密子集，即，并且，则； 是的任意子集，则是的闭子空间。 定理2.2　设是内积空间中的完备凸集，则对任意，存在，使得 ＝ 定理2.3（正交分解）设是空间的闭子空间，则对任意，存在唯一的及，使得 2 正交系 设，是内积空间中的子集，如果时，称,是中的一个正交系。设,是一个正交系，如果对每一上，,称,是一个标准正交系。 设，是的一个正交系，如果包含它的最小闭子空间是全空间，称,是的正交基。 定理2.4　设是内积空间中的标准正交系，，是个数，则当且当仅时，取最小值。 定理2.5（不等式）设是内积空间中的标准正交系，则对任意，有 定理2.6　设是内积空间中的一个标准正交系，则是完备的，当且仅当张成的子空间在中稠密。 定理2.7　设是空间，是中的标准正交系，则是完备的，当且仅当是完全的。 定理2.8　设是空间，是中的标准正交系，，则存在，使得 并且 定理2.9（正交化定理）设是内积空间中的可数子集，则在中存在标准正交系，使得与张成的子空间相同。 3 可分空间的同构 定理2.10　设是任一可分的无穷维的空间，则存在上到同构映射，且保持内积。 这个定理表示任何一个无穷维中分空间可以表示为“坐标形式” 三　表示定理，空间的共轭空间 1 表示定理 定理3.1（表示定理）设是空间，是上任意有界线性泛函，则存在唯一的，使得对于每一个，有，并且有。 2空间的共轭空间 设是空间，，于是对任意，易见是上的一个有界线性泛函，因此由表示定理，存在唯一的，使得 ＝　　　（1） 定义。 　定义　设是空间，，把（1）式确定的有界线性算子称为的共轭算子。 　　注意区别第三章第四节中定义上的有界线性算子的共轭算子。 以后说到空间上的有界算子的共轭算子均指（1）定义的算子，并且把它记为，即的共轭算子是由下式定义的算子： 。 　定义　设是空间，是上的有界线性算子，如果＝，即对任意 则称是自共轭算子。 　设是空间的有界共轭算子，以下是算子的一些简单性质。 对任意，是实的。 算子的特征值是实的。 对应于算子的不同特征值的特征向量是正交的。 四　空间中的自共轭紧算子 　引理4.1　设是空间，是上的有界共轭算子，如果存在，，使得泛函在点达到极大，则由可推出＝0。 　定理4.2　设是空间上的自共轭紧算子，则存在对应于特征值的特征向量构成的标准正交系，使得每一元可唯一地表示为 ， 其中，即满足，同时 并且如果是无穷的，则＝0。