专题二 从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论.pdf

专题讲座二 从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 根据古埃及的草片文书记载，早在公元前 1700 年左右，人们就发现，当a ≠0 时，ax = b 有根x = b/a ，随着岁月的流逝，数学的发展，到了公元前几世纪，巴比伦人实际上已经使 用过配方法得知ax 2 bx c 0 （当a ≠0 时）有根 x 1 b m b 2 4ac 2a 当时，人们只承认现在称之为正实根才是根，零，负数，无理数和复数的概念和理论迟 至十六世纪到十八世纪才得到承认并逐步完善。根据巴比伦文书记载，当时已解决了二次方 程： 1 x b x 得出的解答是： 2 b b x m 1 2 2 这就促使人们进一步思考，是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式？寻找三次 方程的求根公式，经历了二千多年的漫长岁月，直到十六世纪欧洲文艺复兴时期，才由几个 意大利数学家找到，这就是通常据说的卡丹 （Cardan, 1501——1576）公式，其原始想法是： 在 x 3 ax bx c 0 a 中作变量代换x y 后把方程化为 3 y 3 py q （1） 它不再含有平方项了，设y 3 m 3 n ，这里m 和n 是两个待定的数，则有 y 3 m n 3 mny q py 如果取m, n 满足 3 p m n q, mn 3 则对应的y 值必满足 （1）式。另一方面，由 2 2 2 4 3 (m n) (m n) 4mn q p 27 可得 2 4 3 m n q p 27 所以，当取 1 1 2 1 3 m q q p 2 4 27 1 1 2 1 3 n q q p 2 4 27 时，并令a 3 m , b 3 n ，就得原三次方程的一个根 a x 1 a b 3 它的另两个根是 2 a x 2 wa w b 3 2 a x 3 w a wb 3 1 2 1 3 这里w ( 1 3i), w ( 1 3i) （其中i 1 ）是x 1 0 的两个不是 2 2 1 的根。 在三次方程求根公式发明过得中，有一