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专题二 从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论.pdf

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专题讲座二 从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 根据古埃及的草片文书记载,早在公元前 1700 年左右,人们就发现,当a ≠0 时,ax = b 有根x = b/a ,随着岁月的流逝,数学的发展,到了公元前几世纪,巴比伦人实际上已经使 用过配方法得知ax 2 bx c 0 (当a ≠0 时)有根 x 1 b m b 2 4ac 2a 当时,人们只承认现在称之为正实根才是根,零,负数,无理数和复数的概念和理论迟 至十六世纪到十八世纪才得到承认并逐步完善。根据巴比伦文书记载,当时已解决了二次方 程: 1 x b x 得出的解答是: 2 b b x m 1 2 2 这就促使人们进一步思考,是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式?寻找三次 方程的求根公式,经历了二千多年的漫长岁月,直到十六世纪欧洲文艺复兴时期,才由几个 意大利数学家找到,这就是通常据说的卡丹 (Cardan, 1501——1576)公式,其原始想法是: 在 x 3 ax bx c 0 a 中作变量代换x y 后把方程化为 3 y 3 py q (1) 它不再含有平方项了,设y 3 m 3 n ,这里m 和n 是两个待定的数,则有 y 3 m n 3 mny q py 如果取m, n 满足 3 p m n q, mn 3 则对应的y 值必满足 (1)式。另一方面,由 2 2 2 4 3 (m n) (m n) 4mn q p 27 可得 2 4 3 m n q p 27 所以,当取 1 1 2 1 3 m q q p 2 4 27 1 1 2 1 3 n q q p 2 4 27 时,并令a 3 m , b 3 n ,就得原三次方程的一个根 a x 1 a b 3 它的另两个根是 2 a x 2 wa w b 3 2 a x 3 w a wb 3 1 2 1 3 这里w ( 1 3i), w ( 1 3i) (其中i 1 )是x 1 0 的两个不是 2 2 1 的根。 在三次方程求根公式发明过得中,有一
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