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专题讲座二 从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论
根据古埃及的草片文书记载,早在公元前 1700 年左右,人们就发现,当a ≠0 时,ax = b
有根x = b/a ,随着岁月的流逝,数学的发展,到了公元前几世纪,巴比伦人实际上已经使
用过配方法得知ax 2 bx c 0 (当a ≠0 时)有根
x 1 b m b 2 4ac
2a
当时,人们只承认现在称之为正实根才是根,零,负数,无理数和复数的概念和理论迟
至十六世纪到十八世纪才得到承认并逐步完善。根据巴比伦文书记载,当时已解决了二次方
程:
1
x b
x
得出的解答是:
2
b b
x m 1
2 2
这就促使人们进一步思考,是否对于任意次数的方程都能找到这种求根公式?寻找三次
方程的求根公式,经历了二千多年的漫长岁月,直到十六世纪欧洲文艺复兴时期,才由几个
意大利数学家找到,这就是通常据说的卡丹 (Cardan, 1501——1576)公式,其原始想法是:
在
x 3 ax bx c 0
a
中作变量代换x y 后把方程化为
3
y 3 py q (1)
它不再含有平方项了,设y 3 m 3 n ,这里m 和n 是两个待定的数,则有
y 3 m n 3 mny q py
如果取m, n 满足
3 p
m n q, mn
3
则对应的y 值必满足 (1)式。另一方面,由
2 2 2 4 3
(m n) (m n) 4mn q p
27
可得
2 4 3
m n q p
27
所以,当取
1 1 2 1 3
m q q p
2 4 27
1 1 2 1 3
n q q p
2 4 27
时,并令a 3 m , b 3 n ,就得原三次方程的一个根
a
x 1 a b
3
它的另两个根是
2 a
x 2 wa w b
3
2 a
x 3 w a wb
3
1 2 1 3
这里w ( 1 3i), w ( 1 3i) (其中i 1 )是x 1 0 的两个不是
2 2
1 的根。
在三次方程求根公式发明过得中,有一
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