Lecture2_代数方程的解法.doc
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二、解非线性方程（组）
（一）直接法
１、二分法：
设方程在区间上有唯一解，并且，如方程
（2）
首先要确定适当的包含根的区间，这可以依据闭区间上连续函数的介值定理来确定，例如，，，所以方程 （２）至少有一个实根属于区间，图1表明区间中只含有一个根，显然方程 （２）的根不易直接求得。在区间[-1，0]、[0，1]和[1，2]的情形，如下图１所示
例 plotNL_fun01.m
程序实现：Find_Interval_of_Including_Root_01.m
二分法的求根过程：用表示方程在区间上近似解，对于给定的精度要求，取区间的中点，并按下式进行判断：
（２）
以为例，如果，那么区间内的任何一点都可以作为方程的近根。二分法适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，迭代次数的估计：
（３）
程序实现：Bisection_method_01.m
２.黄金分割法：
在区间内取对称的两点：
（４）
使得
求根（方法）程序如下：
（５）
按这种方法选取点和，每次去掉的区间长度至少是原区间长度的0.618倍，
上述适用于一个方程的场合，收敛速度是线性的，迭代次数的估计：
（６）
程序实现：Golden_Rate_method_01.m
（二）迭代法
首先将方程（组）写成等价的迭代形式：
（７）
由此确定了相应的迭代法:
（８）
对于非线性方程（组）的迭代法来说，同样面临收敛性问题，为说明收敛性条件，先看下面的例子：
Example：EquitIteration.m
让我们来求如下方程的根
下面，我们采用迭代法求方程 （１）位于区间中的根，为此构造迭代算法如下：
， （９）
， （１０）
在区间中任取一个迭代初值，如取初值。执行下面的程序：
EqutIteration.m:
%EqutIteration.m: Finding The Zeros of f(x)=x^3-2.3x^2+x*sin(x)+0.3
clear;clf
x=[];
x(1)=-0.8;
n=100;
TX=1e-10;
i=1;
while in
x(i+1)=(0.3+x(i)*sin(x(i)))/(x(i)*(2.3-x(i)));
if abs(x(i+1)-x(i))TX
break
else
i=i+1;
N=i;
end
end
N=N
x=x
plot([1:length(x)],x,r*)
title(ITERATION EXAMPLE FOR SOLVING EQUATION)
xlabel(\fontsize {12} \fontname {??ì?}??í?￡±)
EqutIteration
N =
29
Ex_IteraConv01
N =
29
x =
Columns 1 through 7
-0.8000 -0.3524 -0.4511 -0.4002 -0.4219 -0.4117 -0.4163
Columns 8 through 14
-0.4142 -0.4151 -0.4147 -0.4149 -0.4148 -0.4149 -0.4148
Columns 15 through 21
-0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148
Columns 22 through 28
-0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148 -0.4148
Columns 29 through 30
-0.4148 -0.4148
下面欲求１．５附近的根，为此分别取初值，，迭代的结果如下：
Ex_IteraConv01
N =
32
x =
Columns 1 through 7
1.4000 1.3330 1.2378 1.1179 0.9877 0.8676 0.7739
Columns 8 through 14
0.7120 0.6768 0.6589 0.6505 0.6467 0.6451 0.6
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