第8章 代数方程与差分方程模型.ppt
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用无量纲化方法减少独立参数个数 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc (特征尺度) —无量纲变量 如 利用新变量 将被简化 令 xc, tc的不同构造 1)令 ?为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数 的不同简化结果 3)令 ?为无量纲量 2)令 ?为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数 1) 2) 3) 的共同点 只含1个参数——无量纲量? 解 1) 2) 3) 的重要差别 考察无量纲量 在1) 2) 3) 中能否忽略以?为因子的项? 1) 忽略?项 无解 不能忽略?项 无量纲化方法 2) 3) 忽略?项 不能忽略?项 忽略?项 1) 2) 3) 的重要差别 无量纲化方法 火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r ? r 原问题 可以忽略?项 是原问题的近似解 1) 2) 3) 的重要差别 无量纲化方法 为什么3)能忽略?项,得到原问题近似解,而1) 2)不能? 1)令 2)令 3)令 火箭到达最高点时间为v/g, 高度为v2/2g, 大体上具有单位尺度 项可以忽略 项不能忽略 无量纲化方法 选择特征尺度的一般讨论见:林家翘著《自然科学中确定性问题的应用数学》 无 量 纲 化 无量纲化是研究物理问题常用的数学方法. 选择特征尺度主要依赖于物理知识和经验. 恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数,还可以辅助确定舍弃哪些次要因素. 6.4 市场经济中的蛛网模型 问 题 供大于求 现 象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定? 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定? 价格下降 减少产量 增加产量 价格上涨 供不应求 描述商品数量与价格的变化规律. 商品数量与价格在振荡 蛛 网 模 型 g x0 y0 P0 f x y O xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格. 消费者的需求关系 生产者的供应关系 减函数 增函数 需求函数 f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0,则yk=y0, 且 xk+1=xk+2=…=x0 , yk+1=yk+2= …=y0 供应函数 x y O f g y0 x0 P0 设x1偏离x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 P0是稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 P0是不稳定平衡点 x y O y0 x0 P0 f g ? ? 曲线斜率 蛛 网 模 型 ? 在P0点附近用直线近似曲线 P0稳定 P0不稳定 方 程 模 型 方程模型与蛛网模型的一致 ? ~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ? ~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 考察? , ? 的含义 ? ~ 消费者对需求的敏感程度 ? ~ 生产者对价格的敏感程度 ?小, 有利于经济稳定 ? 小, 有利于经济稳定 结果解释 xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格. 经济稳定 结果解释 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使 ? 尽量小,如 ?=0 以行政手段控制价格不变 2. 使 ? 尽量小,如 ? =0 靠经济实力控制数量不变 x y O y0 g f x y O x0 g f 结果解释 需求曲线变为水平 供应曲线变为竖直 模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段 的价格决定下一时段的产量. 生产者管理水平提高 设供应函数为 需求函数不变 二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定,即k??, xk?x0的条件 方程通解 (c1, c2由初始条件确定) ?1, 2~特征根,即方程 的根 平衡点稳定,即k??, xk?x0的条件: 平衡点稳定条件 比原来的条件 放宽了! 模型的推广 3)达到目标体重75kg后维持不变的方案 每周吸收热量c(k)保持某常数C,使体重w不变 不运动 运动(内容同前) 6.1 投入产出模型 6.2 CT技术的图像重建 6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析 6.4 市场经济中的蛛网模型 第六章 代数方程与差分方程模型 国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约关系,每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工(投入)变为自己的产品(产出). 根据各部门间投入和产出的平衡关系,确定各部门的产出水平以满足社会的需求 . 20世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究. 从静态扩展到动态,与数量经济分析方法日益融合,应用领域不断扩大 .
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