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复数集上的代数方程专题 典型举例： 1、关于复数x的一元二次方程 例1、已知关于 ⑴ 当x∈R时解这个方程； ⑵ 当x∈C时，解这个方程。 例2、设关于x的方程 (m∈R)的两个根为α、β。且=2，求m的值。 例3、设关于x的方程至少有一个模为1的根，试确定实数a的值。 （考点：三角形式）解：a=2±√2或-11 3、关于z、、等的方程 例5、在复数中解下列方程：⑴ z*－3 i* =1+3i； ⑵ －λz=（常数λ、∈C 且） 例6、设a≥0，在复数集C中解方程z。 例7、已知二元一次方程的两虚根为α、β，且在复平面上α、β、1这三个对应的点组成一个正三角形的顶点，求实数p。 例8、已知=1，且，求复数z。（考点：三角形式+平方关系） 综合练习： 1、选择题： ⑴ 关于一元二次方程 (a≠0)的正确结论是（ ） （A） a、b、c∈R，当Δ=b－4ac≥0时，方程在复数范围内才有解； （B） a、b、c∈R，复数范围内总有解； （C） a、b、c∈C，方程的两根不适合表达定理； （D） b=0时，方程的两根互为共轭复数。 ⑵ 方程 （m∈R），则正确结论是 （ ） （A） 方程的两根互为共轭； （B） 若方程的两根互为共轭，则m=0； （C） 若x为方程的一虚根，则也为方程的根； （D） 若m＜0，则方程的两根一定为正数。 ⑶ 已知方程x+（k+2i）x+2+ki=0至少有一实根，那么实数k的值是（ ） （A） k≥2或k≤—2 （B）—2≤k≤2 （C） k=2 （D） k= 2、填空题： ⑴ 与自身的平方共轭的复数有_______个。 ⑵ 方程z的解为_______。 ⑶ 设关于x的方程的两根的模的和为2，则实数的值是_______。 3、解答题： 已知关于x的二次方程 ⑴ 如果此方程有一个实根，求锐角θ和这个实根。 ⑵ 试证维纶θ去任何实数值时，此方程不可能有纯虚数根。 复数集上的代数方程专题 1、关于复数x的一元二次方程 (a≠0) ⑴ 若a、b、c ∈R,则方程( * )在复数集C上总有两个根。 当Δ=b－4ac＞0时，方程有两个不等的实根，x=； 当Δ=b－4ac=0时，方程有两个相等的实根，x=； 当Δ=b－4ac＜0时，方程有一对共轭虚根，x=；且x+x=－；xx=。 ⑵ 若a、b、c不全是实数，则方程( * )在复数集C上总有两个根。 x= ； x+x=－ ； xx=。 ⑴、⑵在以下四种结论中： ① 可用Δ来判断方程的情况；② 方程的虚根成对出现； ③ 求根公式成立； ④ 韦达定理成立。 相同之处是③、④；不同之处①、②。 2、二项方程（a≠0，a，a∈C，n∈N）将其化成x=,则解x即为的n次方根。 3、关于z、、等的方程，如已知z++=0，求z等，通常设z=x+yi（x、y∈R）代入方程，利用复数相等的重要条件，求解x、y，可得z。 高考考点： 高考考点要掌握关于复数z的一元二次方程 (a≠0) 的解法，会解关于z、、等的方程。 典型举例： 1、关于复数x的一元二次方程 例1、已知关于 ⑴ 当x∈R时解这个方程； ⑵ 当x∈C时，解这个方程。 例2、设关于x的方程 (m∈R)的两个根为α、β。且=2，求m的值。 例3、设关于x的方程至少有一个模为1的根，试确定实数a的值。 解：a=2±√2或-11 3、关于z、、等的方程 例5、在复数中解下列方程：⑴ z*－3 i* =1+3i； ⑵ －λz=（常数λ、∈C 且） 例6、设a≥0，在复数集C中解方程z。 例7、已知二元一次方程的两虚根为α、β，且在复平面上α、β、1这三个对应的点组成一个正三角形的顶点，求实数p。 例8、已知=1，且，求复数z。 综合练习： 1、选择题： ⑴ 关于一元二次方程 (a≠0)的正确结论是（ ） （A） a、b、c∈R，当Δ=b－4ac≥0时，方程在复数范围内才有解； （B） a、b、c∈R，复数范围内总有解； （C） a、b、c∈C，方程的两根不适合表达定理； （D） b=0时，方程的两根互为共轭复数。 ⑵ 方程 （m∈R），则正确结论是 （ ） （A） 方程的两根互为共轭； （B） 若方程的两根互为共轭，则m=0； （C） 若x为方程的一虚根，则也为方程的根； （D） 若m＜0，则方程的两根一定为正数。 ⑶ 已知方程x+（k+2i）x+2+ki=0至少有一实根，那么实数k的值是（ ） （A） k≥2或k≤—2 （B）—2≤k≤2 （C） k=2 （D） k=2 2、填空题： ⑴ 与自身的平方共轭的复数有_______个。 ⑵ 方程z的解为_______。 ⑶ 设关于x的方程的两根的模的和