公共基础——数学之无穷级数 学习笔记.docx

1.4 无穷级数数项级数1．级数的存在意义和概念级数是一个多项和。无穷级数是一个无穷多项的和。级数理论是分析学的一个分支，它与另一个分支——微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散和连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系——函数。级数理论的基本问题：级数的收敛问题级数的作用：研究函数级数的应用：近似计算2．常数项级数的概念和性质概念：是一个数列，是无穷级数称为级数的部分和存在，称级数收敛，当级数收敛时，对于余项有不存在，称级数发散性质和的级数 = 级数的和每一项的常数倍之和 = 级数的常数倍3．典型级数当时，级数收敛于，反之发散当时收敛，当时发散4. 正项级数审敛法（4条）当级数的各项均时，称为正项级数。什么是审敛法？就是通过级数的各种极限形式来判别级数的收敛与发散的方法。收敛准则：正项级数收敛的充要条件是其部分和有界。部分和有界是部分和数列有界的必要条件。比较审敛法：对于，当时，，若后者收敛则前者收敛，若前者发散则后者发散。比较审敛法的极限形式是当时，两级数同时收敛或同时发散。比值审敛法（后项比前项）若当时收敛，当时发散，当时级数可能收敛也可能发散。根植审敛法当时收敛，当时发散，当时级数可能收敛也可能发散。5.任意项级数审敛法（3条）如果级数为任意实数，则其各项之和称为任意项级数。若级数的正负项交替出现，即级数可以表示成的形式，则称为交错级数。如果级数为任意项级数，且级数收敛，则称原任意项级数绝对收敛；若前者收敛，而后者发散，则称原级数条件收敛。莱布尼兹判别法若交错级数满足：及，则原级数收敛，且有余项若任意项级数绝对收敛，则该级数收敛。如果级数为任意项级数，且级数（或）则当时收敛，当时发散，当时级数可能收敛也可能发散。幂级数泰勒级数在第一节中学的是数项级数，即级数中的每一项都是常数（不管正的还是负的），但是有些级数的通项并不是常数，而是函数，这样的级数就是函数级数本节将要学习的幂级数和泰勒级数都是函数级数的一种。幂级数的概念和性质形如称为幂级数，令，则幂级数的标准形式为一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。2.阿贝尔定理若上级数在处收敛，则对的所有，级数绝对收敛若发散，发散3.幂级数的收敛半径及其求法对幂级数若则它的收敛半径R与有一定的对应关系4. 函数展开成幂级数的方法只考虑间接法：利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数，避免在用直接法时研究余项的麻烦。常用函数的幂级数展开式：当时当时5.泰勒级数和麦克劳林级数幂级数称为函数在点处的泰勒级数。特别的，当时，级数称为函数的麦克劳林级数。傅里叶级数定义：是周期为 2的周期函数，且以下两个积分（两系数）都存在：（n=0、1、2、……）（n=1、2、……）则、称为傅里叶系数，而级数：狄利克雷收敛定理是周期为 2的周期函数，若其满足条件：在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；在一个周期内至多只有有限个极值点；则的傅里叶级数收敛，且当x是的连续点时，级数收敛于当x是的间断点时，级数收敛于正弦级数是周期为 2的奇函数，则它的傅里叶系数为（n=0、1、2、……）（n=1、2、……）其傅里叶级数为因此称为正弦级数余弦级数是周期为 2的偶函数，则它的傅里叶系数为（n=0、1、2、……）（n=1、2、……）其傅里叶级数为因此称为余弦级数后记级数究竟是什么东西？它与我们的生活有什么联系呢？我们为什么要学习它？我们今天看到书本上几页纸的《无穷级数》章节内容，是数学家们几个世纪以来的努力结果，其中可能经历了猜测、假设、验证、推广、质疑、推广等许多个阶段，才有了今天的样子。也就是说，我们确实是在巨人的肩膀上看世界。级数理论是分析学的一个分支，它与另一个分支——微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散和连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系——函数。从定义可知：级数是用来研究函数的工具，而数学很大程度上就是在研究函数，而级数的应用是近似计算。我们可以将生活中几乎所有函数（可导）用级数表示出来，这样方便了我们求那些本来不好求的函数的值。无穷？那有什么可怕？在现代计算机技术下，运算速率根本就不是个事，而对于收敛的级数来说，我们只需要求出前面一定数量的通项和。泰勒级数有什么用？用吴文俊的话说就是：把质的困难转变成量的复杂。量多并不可怕，我们有时间，有计算工具，关键是要有方法来求。本来求函数的值很困难，将其展开后是幂级数的线性组合，虽然有很多项，但是每一项都是幂函数，因此每一项都容易求解。这有点像什么呢？有点像极限思维。我要考注册动力工程师，我知道它好所以我要考。怎么考呢？光看这几个字，动力？工程师