高等数学教案ch11无穷级数.doc

第 PAGE 36 页 共 NUMPAGES 42 页 第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、，和的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 比较判别法的极限形式； 莱布尼茨判别法； 任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 函数项级数的收敛域及和函数； 泰勒级数； 傅里叶级数的狄利克雷定理。 §11. 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数: 给定一个数列 u1, u2, u3, × × ×, un, × × ×, 则由这数列构成的表达式 u1 + u2 + u3 + × × ×+ un + × × × 叫做(常数项)无穷级数, 简称(常数项)级数, 记为, 即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限s, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成 ; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ ? ? ?叫做级数的余项. 例1 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中a?0, q叫做级数的公比. 解 如果q?1, 则部分和 . 当|q|1时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当|q|1时, 因为, 所以此时级数发散. 如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na??, 因此级数发散; 当q=-1时, 级数成为 a-a+a-a+ ? ? ?, 时|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述, 如果|q|1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|?1, 则级数发散. 仅当|q|1时, 几何级数a?0)收敛, 其和为. 例2 证明级数 1+2+3+? ? ?+n+? ? ? 是发散的. 证 此级数的部分和为 . 显然, , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数 的收敛性. 解 由于 , 因此 从而 , 所以这级数收敛, 它的和是1. 二、收敛级数的基本性质 性质1 如果级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks. (如果级数收敛于和s, 则级数也收敛, 且其和为ks. ) 这是因为, 设与的部分和分别为sn与?n, 则 . 这表明级数收敛, 且和为ks. 性质2 如果级数、分别收敛于和s、?, 则级数也收敛, 且其和为s??. 这是因为, 如果、、的部分和分别为sn、?n、?n, 则 . 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的,