第18讲二次函数在限制区间上最值.doc

第18讲 二次函数在闭区间上的最值 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知，求函数的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 例3. 已知，当时，求的最大值． 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例4. 已知，且，求函数的最值。 例5. (1) 求在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数在上的最大值。 4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。 例6. 已知，求的最小值。 （二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。 例7. 已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。 例8.已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值。 例9. 已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。 开拓视野 其他类型函数 1、已知函数，其中常数 (1) 当时，证明函数在上是减函数；2) 求函数的最小值为定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时， （1）请指出在区间上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论； （2）试证明是周期函数，并求其在区间上的解析式． 3. 已知函数（是常实数）． （1）若函数的定义为R，求的值域； （2）若存在实数t使得是奇函数，证明的图像在图像 的下方． 4．已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”. （1）判断函数是否是“S-函数”； （2）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域. 三、巩固训练 1．函数在上的最小值和最大值分别是 （ ） 1 ,3 　 ,3　　 （C） ,3 　 （D）, 3　 2．函数在区间 上的最小值是 （　　　）　　 　　 　　 2 3．函数的最值为 （　　　） 最大值为8，最小值为0　　　　　　不存在最小值，最大值为8　　　 　 （C）最小值为0, 不存在最大值　　　　 不存在最小值，也不存在最大值 4．若函数的取值范围是______________________ 5．已知函数上的最大值是1，则实数a的值为 6．如果实数满足，那么有 （ ） (A)最大值为 1 , 最小值为 (B)无最大值，最小值为 （C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为 7．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是 （ ） (A) (B) (C) (D) 8．若，那么的最小值为__________________ 9．设是方程的两个实根，则的最小值______ 10．设求函数的最小值的解析式。