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二次函数区间最值问题

【知识点1】解题方法：主要抓住三要素

（1）三点：表示区间的两个端点和中点；（区间：表示自变量的取值范围）

（2）一轴：表示二次函数对称轴；

（3）开口：表示二次函数的开口方向；

【知识点2】四种区间情况讨论

对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，求以下区间的最值。

1、若自变量为全体实数

（1）当a0时，当时，函数有最小值，如图（1）

（2）当a0时，当时，函数有最大值，如图（2）

图1图2

2、若：且

（1）当a0时，抛物线开口向上，当时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（3）；

（2）当a0时，抛物线开口向下，当时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（4）；

图3图4

注意：这里一定要注意m,n与的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结合实际情况。

3、若，且对称轴在区间的右边时

（1）当a0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值，如图（5）；

（2）当a0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值，如图（6）；

图5图6

4、若，且对称轴在区间的左边时

（1）当a0时，抛物线开口向上，当x=m时，函数有最小值；当x=n时，函数有最大值。

（2）当a0时，抛物线开口向下，当x=m时，函数有最大值；当x=n时，函数有最小值。

图7图8

【知识点3】总结归纳如下：

1、根据题意画草图；

2、根据题意确定类型：

（1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧.

3、画出最高点和最低点，确定最值。

【题型1】自变量为全体实数

【例1】求函数的最值，并说明是最大值还是最小值．

【变式1】请同学们借助所学知识确定代数式有最大值还是最小值，是多少？

A．有最小值是4 B．有最大值是4

C．有最小值是8 D．有最大值是8

【变式2】二次函数的最大值是．

【题型2】自变量取值范围为且

【例2】求二次函数在范围内的最小值和最大值．

【变式1】已知二次函数的图象（）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（???）

A．有最小值，无最大值 B．有最小值，有最大值

C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值

【变式2】当，则函数最大值，最小值．

【题型3】若，且对称轴在区间的右边时

【例3】当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣3）2+m2+1有最大值4，求实数m的值．

【变式1】已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（????）

A．7 B．4 C．6 D．3

【变式2】已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是．

【题型4】若，且对称轴在区间的左边时

【例4】已知，则函数（????）

A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7

C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值

【变式1】若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(???)

A． B． C． D．

【变式2】当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为.

【题型5】若，且对称轴在区间的位置进行分类讨论

【例5】已知二次函数．当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值．

【变式1】当时，二次函数（h为常数）有最小值10，则h的值为

【变式2】已知二次函数的表达式为，当时，函数有最大值，则的最小值是．

1、直通中考

【例1】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；

(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．

求二次函数解析式

【题型1】顶点式

【例1】已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，若点在该函数图象上，求的值．

【变式1】一抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，顶点为，则此抛