2017年高中数学第二讲证明不等式的基本方法模块复习课课件新人教A版选修4-5.ppt

* 【网络体系】 【核心速填】 1.比较法 (1)作差比较法的依据: 若a,b∈R,则______?ab;a-b=0?a=b;______?ab. (2)作商比较法的依据: 若a0,b0,则_____?ab; =1?a=b;_____?ab. a-b0 a-b0 (3)比较法的步骤:作差(商)→变形→判符号(与0(或1)比较大小)→结论. 2.综合法 推证过程: 3.分析法 推证过程: 4.反证法 反设→推理→矛盾→结论. 5.放缩法 分析待证式的形式特点,适当放大或缩小. 【易错警示】 (1)利用比较法证明不等式时,最后变形的结果要容易判断其符号,即变形为一个常数,或变形为若干个因式的乘积,或变形为一个或几个平方的和等. (2)用分析法证明不等式时,一定要注意用好反推符号,或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语. (3)用放缩法时,放缩要得当,不能“过大”也不能“过小”. 类型一　比较法证明不等式 【典例1】设a≥b0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 【证明】3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2). 因为a≥b0,所以a-b≥0,3a2-2b22a2-2b2≥0. 从而(3a2-2b2)(a-b)≥0,故3a3+2b3≥3a2b+2ab2成立. 【方法技巧】比较法证明不等式的依据及步骤 (1)依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件. (2)一般步骤: ①作差; ②恒等变形; ③判断结果的符号; ④下结论. 其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形. 【变式训练】1.(2016·南阳高二检测)已知a,b是正实数,n是正整数. 求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1). 【证明】(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1) =an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=abn+anb-an+1-bn+1 =a(bn-an)+b(an-bn)=(a-b)(bn-an). 当ab0时,bn-an0,a-b0,此时(a-b)(bn-an)0; 当ba0时,bn-an0,a-b0, 此时(a-b)(bn-an)0; 当a=b0时,bn-an=0,a-b=0,此时(a-b)(bn-an)=0. 综上所述:(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)≤0. 即(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1). 2.(2016·福州高二检测)已知α∈(0,π), 求证:2sin2α≤ 【证明】2sin2α- =4sinαcosα- 因为α∈(0,π),所以sinα0,1-cosα0, 又(2cosα-1)2≥0,所以2sin2α- ≤0, 所以2sin2α≤ . 类型二　综合法证明不等式 【典例2】已知a0,a2-2ab+c2=0且bca2,试证明:bc. 【证明】因为a2-2ab+c2=0,所以a2+c2=2ab. 又a2+c2≥2ac,且a0,所以2ab≥2ac,所以b≥c. 若b=c,由a2-2ab+c2=0,得a2-2ab+b2=0,所以a=b. 从而a=b=c,这与bca2矛盾.从而bc. 【方法技巧】综合法证明不等式的依据、注意点及思考方向 (1)依据:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论. (2)注意点:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握. (3)思考方向:综合法证明不等式的思考方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立. 【变式训练】1.(2016·昆明高二检测)已知a,b是不相等的正实数,求证:(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)9a2b2. 【解题指南】因为a,b是不相等的正实数,所以a2b+a+b2及ab2+a2+b均可用三正数的均值不等式,从而用综合法可证明. 【证明】因为a,b是正实数, 所以a2b+a+b2≥3 =3ab0, (当且仅当a2b=a=b2即a=b=1时,等号成立); 同理:ab2+a2+b≥3 =3ab0, (当且仅当ab2=a2=b即a=b=1时,等号成立); 所以(a2b+a+b2)(ab2+a2+b)≥9a2b2, (当且仅当a=b=1时,等号成立); 因为a≠b,所以(a