常用曲线的极坐标方程.doc

4.2.2 常用曲线的极坐标方程(1) 【教学目标】 了解极坐标系中直线和圆的方程，进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法。 【教学重点】 求极坐标系下的曲线的方程。 【教学过程】 一、问题情境 在极坐标系下，如何求直线和圆的方程？ 二、讲授新课 1．直线的极坐标方程 若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α ，求直线l的极坐标方程。 设直线l上任意一点的坐标为P(ρ，θ)，由正弦定理，得： = 整理得直线l的极坐标方程为 ρsin(θ ?α) =ρ0 sin(θ0 ?α)。 一些特殊位置的直线方程如下： 经过极点 经过定点M(a，0)，且与极轴垂直 经过定点M(b，)，且与极轴平行 θ = α ρcosθ = a ρsinθ = b 2．圆的极坐标方程 若圆的圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，求圆的极坐标方程。 设P(ρ，θ)为圆上任意一点，由余弦定理，得 PM2 = OM2 +OP2 ?2OM·OPcos∠POM， 圆的极坐标方程ρ2 ?2ρ0ρcos(θ ?θ0) + ?r2 = 0 一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为r)： 圆心在极点 圆心在极点右侧 圆心在极点上方 圆心在极点左侧 圆心在极点下方 ρ = r ρ = 2rcos θ ρ = 2rsin θ ρ = ?2rcos θ ρ = ?2rsin θ 三、例题选讲 【例1】已知圆的圆心为A（4，0），半径为4，求过极点的弦的中点M的轨迹。 【例2】试判断两个圆 ρ = 4cos θ 和ρ = 4sin θ 的位置关系，求出圆心距，若两圆相交，再求出两圆的交点的极坐标。 【例3】将下列极坐标方程化成直角坐标方程，并说明是何曲线。 ⑴ ρ sin θ =1；⑵ρ = 8cos θ +6 sin θ ； ⑶ ρ = cos θ ?2sin θ；⑷ 。 ?x ； ⑵ x2 +y2 +8x +6y = 0； ⑶ 。 【例5】已知一圆心在极轴上，且过极点的圆交极轴的另一个交点是A（6，0）。 ⑴求圆的极坐标方程； ⑵过A与极轴垂直的直线为l，M是圆上的一个动点，OM延长后与l相交于N，P是射线OM上的一个点，且满足OP=MN，求点P的极坐标方程。(蔓叶线) 五、课堂小结： 1．求直线或圆的极坐标方程可借助于其几何意义，使用正弦定理或余弦定理； 2．将直角坐标方程化成极坐标方程，只要将 x = ρcos θ，y = ρsin θ代入再化简即可； 3．将极坐标方程化为直角坐标方程，可将方程化成 ρcos θ，ρsin θ 和ρ2的形式，再分别替换成 x，y，x2 +y2，有时要两边先乘以ρ ； 4．对于极坐标方程下的距离和位置关系等问题，可以在极坐标系下研究，也可以化成直角坐标研究。 六、课后作业： 1．课本P28 习题 3，4，5； 2．直线 θ = α 和直线 ρsin(θ ?α) = 1的位置关系是（ ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 3．方程 ρ =cos( ?θ) 表示的曲线为（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 4．过点（2，）且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ） A．ρ =sin θ B．y = 1 C．ρsin θ = 1 D．ρcos θ = 1 5．极坐标方程 ρ = 10cos (π ?θ)表示的图形是（ ） A．圆心在（5，0），半径为5的圆 B．圆心在（5，π），半径为5的圆 C．垂直于极轴，过点（?10，π）的直线 D．平行于极轴且在极轴下方10个单位的直线 6．直线l：y +kx +2 = 0 与曲线C：ρ = 2cos θ相交，则 k 的取值范围是（ ） A． k ≤? B．k ≥? C．k ∈ R D．k ∈ R且k ≠ 0 7．在极坐标系中，曲线 ρ = 4sin(θ ? ) 关于（ ） A．直线 θ = 轴对称 B．直线 θ = 轴对称 C．点（2，）中心对称 D．极点中心对称 8．极坐标系 ρcos θ = sin 2θ 所表示的曲线是 。 9．画出极坐标方程 3ρθ +π =3θ +πρ 所表示的曲线的图象。 10．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（3，），半径 r = 3 。 ⑴求圆C的极坐标方程； ⑵若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且OQ：QP=3：2，求动点P的轨迹