数项级数及其收敛性..doc

数项级数及其收敛性 无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1（大于零）的等比级数可求出和数；阿基米德在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物弓形面积，并且得出级数的和；关于无穷级数，数学史上有个著名的芝诺悖论。两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能的。庄子亦说一尺之棰，日取其半，万世不竭。但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。要解决这个悖论，需要引进极限方法。 定义1 设给定一个数列，则表达式 称为无穷级数，简称级数，记作，即 ， 其中称为级数的第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数称为常数项级数，如果是函数，则级数称为函数项级数． 其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列: ,各项的和；另外，无限循环小数也是无穷级数，比如： ，，，所以有 ． 显然，越大，这个近似值就越接近，根据极限的概念可知 ， 也就是说 ． 由以上两个实例可以得到两个重要结论： 结论：1、在一定条件下无穷多个数的和是有意义的，即等于一个常数。 2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和。 无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容，即一，无限项相加的形式在什么条件下有“和”，这种“和”的确切意义是什么？如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、收敛域以及级数的和；二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷级数，如函数的幂级数展开式。无穷级数是无穷多个数累加的结果，虽然在形式上也写成用加号连接的一个式子，在意义上却与过去熟悉的有限项的和完全不同，从有限到无限，发生了质的变化。实例的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题．然而有限个数相加的和一定存在，无限个数相加是否一定有和呢？满足怎样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工具来对这些作出解答．我们引入部分和概念： 把级数的前项之和 (2) 称为该级数的前项部分和，记为，即.当依次取时，： 称此数列为级数的前项部分和数列. 根据前项部分和数列是否有极限，(1)收敛与发散的概念. 定义2 当无限增大时，的前项部分和数列有极限， 则称级数收敛，称为级数的和， 如果前项部分和数列 没有极限，发散. 当级数收敛于时，项部分和是级数的和的近似值， 称为级数的余项.显然，而是用近似代替所产生的误差. 注：（1）由级数定义，级数与其前项部分和数列同时收敛或同时发散，且收敛时=. （2）收敛的级数有和值，发散的级数没有“和”. 在数项级数中，应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数，这类级数简称等比级数（或称几何级数）． 例1 试讨论等比级数 的收敛性． 解 根据等比数列前项的求和公式可知，当时，所给级数的部分和．于是，当时， ． 由定义2知，该等比级数收敛，其和，即． 当时， ． 所以这时该等比级数发散． 当时，（当），因此该等比级数发散． 当时，部分和数列不存在极限，故该等比级数发散． 综上所述可知：等比级数，当公比时收敛；当公比时发散． 例2 判别无穷级数 的敛散性。 解：由于un== 因此 sn= =（）+（）+…+ （） = 1—。 而 ==1 所以该级数收敛于和1。 例3 证明1+2+3+…+n+…是发散级数。 证： 此级数的部分和为 sn=1+2+3+…+n = 显然，= ￥，因此级数是发散级数。