经济学专业数学数项级数收敛性判别法配套课件.ppt

* * 课外练习 习题7－2 1-8 思考练习 1、设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . * * 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: ∴ (B) 错 ; 又 C 2. * ( L. P374, 5 ) * * 第二节 数项级数收敛性判别法 第七章 （Interrogate of constant term series） 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习 * * 一、正项级数及其审敛法 若 定理 1 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” (Interrogate of positive term series) * * * * 证 根据比较审敛法可知所给级数也是收敛的． * * (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 例2 讨论 p 级数 * * 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 * * 解 * * 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 定理3 (比较审敛法的极限形式) * * 解 * * * * * * * * 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 定理4 比值审敛法 ( D’ Alembert 判别法) * * 因此 所以级数发散. 时 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 (2) 当 * * * * * * ?对任意给定的正数 ? 设 为正项级 则 证明提示: 即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确. 数, 且 定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法) * * 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 说明 : * * * * 二、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 (Interrogate of staggered series) * * 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 * * 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: * * 三、绝对收敛与条件收敛 定义 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . (Absolute convergence and conditional convergence) * * 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 定理7 绝对收敛的级数一定收敛 . * * 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . 例11 证明下列级数绝对收敛 : （补充题） * * (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. * * * * 其和分别为 *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 设级数 与 都绝对收敛, 其和为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. 说明: 条件收敛级数不具有这两条性质. * * 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 * * 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 3. 任意项级数审敛法 * ( L. P374, 5 )