12-1级数的收敛性2.doc

第十二章 数项级数 §1 级数的收敛性 (一) 教学目的： 掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 (二) 教学内容： 数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数． 基本要求：深刻理解数项级数收敛的定义及与数列收敛的关系 (三) 教学建议： 1）要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性． 2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求． —————————————————————— 1 数项级数的概念、记号： 将数列的各项用加号连接起来，即 或 称为数值级数，简称级数。其中第n 项 称为通项。 级数的敛散性与和 : . 2 介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想 级数的部分和： . 3 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 级数的收敛性：若 存在，称级数收敛，称为级数的和； 余和：称 为级数的余和。 若部分和数列发散，则称级数发散，发散级数没有和。 这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。 例1 讨论几何级数 的敛散性。 按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。 由等比数列前n 项和的计算公式， 时， 当 时， ，几何级数收敛，其和为 ； 当 时， ，此时几何级数发散，和不存在； 当 时，显然 发散； 结论：几何级数 ，当 时，收敛，其和为 ； 当 时，几何级数发散，和不存在 例2 讨论级数 的敛散性. 解 利用 求出部分和 , 例3 讨论级数的敛散性. 解 设 , , = , . , . 因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数的敛散性. 解 , . 级数发散. 二 收敛级数的性质 因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为： 定理1，（柯西准则）级数 收敛 有 根据定理1，取 ，有 ，于是有下面结论： 推论1， 级数 收敛的必要条件为 本推论可以方便的用来判断级数发散。 注意这只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。 例5 讨论调和级数 的敛散性。 调和级数显然满足推论1，，但，若取 由柯西准则，调和级数发散。 例6 证明级数 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件. 令 , 则当 时有 由定理1，级数收敛与否，仅与充分远的项有关，与前面项的大小无关，因此级数有如下性质： 推论2 去掉、增加或改变级数的有限项，不影响级数的敛散性。 定理2（线性性质）若级数和 收敛，其和分别为 ，则级数 也收敛，其和为 定理3 若级数收敛，其和为，则可对该级数任意加括号，不改变其收敛性，也不改变其和。 注意发散级数，加括号不可以随意加括号，否则会改变其敛散性。 例：级数 发散，但加括号后: 例7 判断级数的敛散性. ( 验证 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 ) 级数与数列的关系 : 对应部分和数列{}, 收敛 {}收敛; 对每个数列{}, 对应级数 , 对该级数, 有=.于是,数列{}收敛 级数 收敛. 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式 .