黄昆固体物理课后习题第四章.doc

第四章 能带理论  4.1，根据 k ? 状态简并微扰结果，求出与 E  及 E 相应的波函数? 及?  ?，并说明它 ??? ? ? ? ? a 2 * 们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ? 说明能隙的来源(假设Vn = Vn )。  ＜解＞令 k  ? ? ??? ， k ′ ?? a a  ，简并微扰波函数为?  ? A? 0 ( x) ? B? 0 ( x)  E 0 (k ) ? E  A ? V * B ? 0  Vn A ? E 0 ? k ′? ? E B ? 0 取 E ? E?  带入上式，其中 E? ? E 0 (k ) ? V  V(x)0, Vn ? 0 ,从上式得到 B= -A,于是  ? ? A ?? 0 ( x) ?? 0 ( x)? ? A ?e i n? x a ?i n? x ? ? e a = 2 A sin n? x ? ? k k ′ ? ? ? ? ? 取 E ? E? ， E? ? E (k ) ? Vn Vn A ? ?Vn B, 得到A ? B   ? ? A ?? 0 ( x) ?? 0 ( x)? ? A ?e i n? x a ?i n? x ? ? e a = 2 A cos n? x ? ? k k ′ ? ? ? ? ? 由教材可知，? ? 及 ? ? 均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度? (k ) 为零．产生 n? 2? 2a 驻波因为电子波矢 k ?? 时，电子波的波长 ? ?? ?? ，恰好满足布拉格发射条件，这 a k n 时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。  4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k ? ? 的 0 级波函数。 2a  r i 2? mx i ? x i 2? mx i 2? ( m? 1 ) x ＜解＞  * ( ) 1 ikx  1 ikx a  1 2 a a 1 a 4 ? k x ? e ? e e ? e ? e ? e L L L L ? 第一能带： m ? ? 0, m ? 0,? * ( x) ? 1 i ? x e 2 a 2a k L ? ? 2? ? 3? 第二能带： b ? b′则b′ → b, m ? 2 ? ? 2 ,即m ? ?1（, i x i a = 2a）∴? * ( x) ? 1 i x e 2 a e e k a a L ? ? ? 2? 5? 第三能带： c′ → c, m ? 2 ? 2 ,即m ? 1,? * ( x) ? 1 i x i x e 2 a ? e a ? 1 i x e 2 a a a k L L  4.3 电子在周期场中的势能． 1 m? 2 ?b2 ? ( x ? na)2 ? ,  当na ? b ≤ x ≤ na ? b 2 ?? ?  V ( x) ?? 0 ， 当(n-1)a+b ≤ x ≤ na ? b  其中 d＝4b，? 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度． ＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示． (2)势能的平均值：由图可见，V ( x) 是个以 a 为周期的周期函数，所以 V ( x) ? 1 ∫ V ( x) ? 1 ∫ a V ( x)dx ? 1 ∫ a ?b V ( x)dx L L a b a ?b 题设 a ? 4b ，故积分上限应为 a ? b ? 3b ，但由于在 ?b, 3b? 区间内V ( x) ? 0 ，故只需在 ??b, b? 区间内积分．这时， n ? 0 ，于是 V ? 1 b m? V ( x)dx ? 2 b m? 2 (b2 ? x2 )dx ? ?b2 x b ? 1 x3 b ? ? 1 m?b2 。 a ∫?b 2a ∫?b 2a ? ?b 3 ?b ? 6 ? ? （3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数  ∞ V ( x) ? V ? ∑  ′ cos m? x,V  2 2b m? 1 b m? ? ∫ V ( x) cos xdx ? ∫ V ( x) cos xdx 0 m m??∞ 2b m 2b 0 2b b 0 2b   第一个禁带宽度Eg ? 2 V1