固体物理考题 第四章 能带理论.doc

第四章 能带理论 1设电子在一维弱周期势场V(x)中运动，其中V(x)= V(x+a)，按微扰论求出k=±π/a处的能隙怎样用能带论来理解导体、绝缘体、及半导体之间的区别？ 3简单推导布洛赫（Bloch）定理对于一个二维正方格子，晶格常数为ａ，?( ???在其倒空间画图标出第一、第二和第三布里渊区；(? ?? ?画出第一布里渊区中各种不同能量处的等能面曲线；(? ??? 画出其态密度随能量变化的示意图。 ?在一维周期场近自由电子模型近似下，格点间距为ａ，请画出能带E(k)示意图，并说明能隙与哪些物理量有关。推导bloch定理；写出理想情况下表面态的波函数的表达式，并说明各项的特点。在紧束缚近似条件下，求解周期势场中的波函数和能量本征值。…………………………………………………………（5-4-1） 若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态，该波函数满足方程： …………………………（5-4-2） 其中为上述第m个原子的原子势场，是与束缚态相对应的原子能级。如果晶体为N个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N个相同能量的束缚态波函数。因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N个简并的系统：能量为的N度简并态，m=1，2，…，N。 实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N个能级构成的能带。根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N个简并态的线性组合 …………………………………………………（5-4-3） 作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为： ……………………………………………………（5-4-4） 其中晶体势场U(r)是由原子势场构成的，即 ……………………………………………………（5-4-5） 微扰计算 （5-4-4）式可以转化为如下形式： 代入（5-4-2）和（5-4-3）后，可得： ……………………………………（5-4-5） 在紧束缚近似作用下，可认为原子间距较态的轨道大得多，不同原子的重叠很小，从而有： ……………………………………………………（5-4-6） 现以左乘方程（5-4-5），并对整个晶体积分，可以得： ……………（5-4-7） 首先讨论（5-4-7）式中的积分。我们引入新的积分变量，令，由晶格周期性可知：，则（5-4-7）式中积分可表示为： …………………（5-4-8） 上式表明积分值仅取决于原子的相对位置，因此引入符号。式中引入负号的理由是晶体势场与原子势场的差值为负值。 将式（5-4-8）代入（5-4-7）式得到方程组： ……………………………………………（5-4-9） 不难证明： 为满足方程组（5-4-9）的解，于是得到： 亦即……………………（5-4-10） 式中为原子的相对位置，与原子标号码m或n无关。（5-4-10）式实际上即为晶体中共有化运动的电子的能量本征值。与该本征值相对应的电子共有化波函数为： ……………………（5-4-11） 容易验证，上式所给出的波函数确为布洛赫函数。不妨作下面的变换， ……………………（5-4-12） 进一步可得：……………………（5-4-13） 显然，是和晶格周期相同的周期函数。 8 (a)试写出其倒格矢，证明倒格子元胞体积v’= (2()3/V，并画出第一布里渊区示意图。 （b）在近自由电子近似下，写出电子在第一布里渊区顶角和各面心上的动能。 （c）令a=b=c,紧束缚近似下电子的色散关系为：E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza) 试写出态密度N(E)的积分表达式，并指出在哪些能量处N（E）=0，哪些能量处有范霍夫奇点？ 9简述Bloch定理，解释简约矢k的物理意义，并阐述的取值原则。 K为简约波矢，是对应于平移操作本征值的量子数。它的物理意义是表示原胞之间电子波函数位相的变化。它的取值应限制在简约布里渊区。 10（a）晶体中的电子能带是怎样形成的？能带的宽度与什么因素有关？ (b)若一个一维导体中电子在能带中的填充刚好是半满的，会出现什么现象？ (c)对于一个简单立方晶体，紧束缚近似下电子表的色散关系为E(k)=E0-2J(coskxa+coskya+coskza) 试写出态密度的积分表达式，并指出在哪些能量处态密度为零？哪些能量处有范霍夫奇点？ 11假定将晶体表面看成是理想平面，忽略晶体内周期势的起伏变化，求表面电子态的能量本征值及其波函数。 12简述能带理论；推导布洛赫(Bloch)定理，理想三维情况下表面电子态的波函数有什么特点。 13简述晶体能带与其晶格周期性和对称性的关系，并说明无序材料电子结构和晶体