第二讲多元微积分详解.ppt

计算 柱坐标 所以 计算 关于两个坐标面 对称性质 曲面 之内及曲面 之外所围成的立体的体积 D 球面坐标系下 球面坐标的直观意义： 球面坐标与直角坐标的关系： 球面坐标系中的体积元素为： 球面坐标系下 计算流程：先从直角坐标的三重到球面坐标的三重. 再分析积分区域，化为柱面坐标下的三次，比如 q j j d d d sin 2 r r 解 采用 所围的立体. 球面坐标 q j j d d d sin d 2 r r v = 解 被积函数是 围成的空间区域, x的奇函数. 球 2 2 2 2 1 y x z y x z - - = + = 与 是曲面 设 W 设函数 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 在区间 内的单调性. (2) 证明 (1) 解 因为 球 极坐标 (1) 讨论 在区间 内的单调性. 设函数 连续且恒大于零 所以, 单调增加. (1) 讨论 在区间 内的单调性. (2) 证 因 (2) 证明 要证明 只需证明 即 令 则 故 单调增加. 因为 所以 因此, (2) 证明 设函数 连续且恒大于零 分别化为在柱坐标系和球坐标系下的累次积分. 将累次积分 解 积分域V是由 1. 化为柱面坐标 x y o 2. 化为球面坐标 得三角形区域（如图） z o 积分域V是由 积分域V的边界曲面在球坐标系下分别表示为: 判断题 错 因为被积函数 的积分范围是 整个球体 而非球表面. 解 球 第二讲 多元微积分 多元微分学知识点汇总及典型题目 多元积分学知识点汇总及典型题目 ——曲线积分与曲面积分 知识背景： 定积分的积分区域为闭区间. 二重积分的积分区域为平面闭区域. 三重积分的积分区域为空间闭区域. 如果将积分区域进一步推广，则得到曲线和曲面积分. 如果积分区域为曲线段，则为曲线积分；如果积分区域为空间曲面，则为曲面积分. 3、第一类曲线积分 定义：分割、取近似、求和、取极限. 设L为 xOy面内一条光滑曲线弧, 在L上有界. 作乘积 并作和 在L上任意插入一点列 把L分成n个小段. 设第i个小段的 第i个小段上任意取定的 长度为 一点, 1 2 1 , , , - n M M M L 即 这和的极限存在, 则称此极限为 在曲线弧 L 对弧长的曲线积分 或 第一类曲线积分. 积分和式 被积函数 弧元素 积分弧段 记作 如果当各小弧段的长度的最大值 对弧长的曲线积分为 推广： 几何意义： 弧长 区间长度. 平面区域的面积. 空间区域的体积. 曲边梯形的面积. 曲顶柱体的体积. 柱面面积 物理意义： 曲线形构件的质量 平面状物体的质量. f(x,y)表示物体的面密度，D表示物体所占的平面区域. 空间物体的质量 f (x,y,z)表示物体的体密度，V表示物体所占的空间区域. f(x,y)表示曲线形构件的线密度，L表示曲线形构件形状. 存在性：连续函数必可积. 性质：线性、可加性、比较、估值、与路径无关性. 计算法： 其中 则 有定义且连续, 具有一阶连续导数, t t t d ) ( ) ( 2 2 y j ￠ + ￠ 可见：(1) 对弧长的曲线积分的要化为定积分计算. (2) 化为定积分只要做三件事： 代换(用曲线的参数方程代换函数中的x, y) 乘弧元(乘以弧长元素)； 定 限(确定积分的上下限，保证下限小于上限). 设D为圆域(如图) 0 0 D1为上半圆域 D2为右半圆域 解 由性质得 } 1 1 , 1 1 ) , {( ￡ ￡ - ￡ ￡ - = y x y x D 其中 为顶点的三角形区域, (A) (B) (C) (D) 0. A D1是D在第一象限的部分, D1 D2 D3 D4 记 I= 则I= I1+ I2, 其中 I1= I2= 而 I1 = D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称 xy关于x和关于y都是奇函数 而 I2 = 是关于x的偶函数, 关于y的奇函数. 所以 D1 D2 D3 D4 若D为 此式的几何意义是:中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍. 0 D1为 x≥0, y ≥0, 则 （2）二重积分的计算 基本思想：将二重积分转化为两次定积分. 转化的关键：用两组不等式描述积分区域. 两种方式：直角坐标系和极坐标系. 直角坐标系下： 若积分区域如右图 若积分区域如右图 解 积分域既是X型又是Y型 法一 所围平面闭区域. 两曲线的交点 先对x后对y的积分 法二