《多元函数微积分》(第二版)王宝富 钮海 习题解答第四章.doc

习题4－1 1．解（1）记一般项为，则 =，=，=，=，… 故= （2）记一般项为，则 =(-1)·，=(-1)·，=(-1)·，… 故=(-1)· （3）记一般项为，则 =，= ，=，=，… 故= （4）记一般项为，则=(-1)，=(-1)，=(-1)，… 故=(-1) 2．解（1） （2） （3） （4） 3．解（1）该级数为几何级数，＝，由于，故该级数收敛。 （2）该级数的一般项，故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散。 （3）该级数为几何级数，，由于，故该级数发散。 （4）设 因为为的几何级数，为＝的几何级数，故，均为收敛级数， 故原级数收敛。 习题4－2 解（1）因为，而级数发散，故该级数发散。 （2） 因为，而发散，故原级数发散。 （3）因为，而且收敛，故原级数收敛。 （4）因为，而且收敛，故原级数收敛。 2．解（1），因为， 故级数发散。 （2）,故级数收敛。 （3）因为, 故级数收敛。 （4）因为， 故级数收敛。 3. 解（1）因为，故级数收敛。 （2）因为，故级数收敛。 （3）因为 ，故级数收敛。 （4）因为， 故当时，，级数收敛；当时，，级数发散； 当时，，无法判断。 4．解（1），而， 故级数收敛 （2），而，故级数收敛。 （3）因为，而级数发散，故级数发散。 (4）因为, 故级数收敛。 （5）因为，故级数发散。 （6），而级数发散，从而发散，故原级数发散。 5．解（1），显然为一交错级数，且满足，， 因而该级数收敛。又是的级数，所以发散， 即原级数是条件收敛。 （2）对于，故收敛， 从而原级数绝对收敛。 （3），显然收敛，故原级数绝对收敛。 （4），为一交错级数，又， 且，故由莱布尼兹定理可知，原级数收敛。但由于， 发散，故原级数是条件收敛。 （5）因为，故级数发散。 6．解（1）因为为几何级数，且， 其和为。 （2）因为 而由知，其和为 由知，其和为 故 7．解设排球每一次下落后的高度依次为: , 反弹的总距离 8．解由已知可得： L=|CD|+|DE|+|EF|+|FG|+… = 习题4-3 1．解（1） 当时，级数收敛，所以该级数的收敛域为 （2） 当时，级数收敛，当时，级数发散， 所以该级数的收敛域为 （3）该幂级数只含有奇次幂项，记，则有 当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径 当时，级数发散，所以该级数的收敛域为 （4）该幂级数只含有偶次幂项，记，则有 当时，级数收敛，当时，级数发散，于是收敛半径 当时，级数发散，所以收敛域为 2．解（1）设 故 （2）设 （3）设 则 令 故 （4）设 习题4-4 1．解(1) （2） （3）设 （4） （5）设 （6） 2．解 注：收敛域： 3．解（1） （2） 4．解设 则 5．解 由于很小，则 习题4-5 1、解：（1）因为 所以的傅氏展开式为 。 （2）因为 （奇函数在以零为对称中心的区间上的定积分等于零）。 所以的傅氏展开式为。 （3）因为是奇函数，所以。 所以的傅氏展开式为。 2、解：（1）因为为偶函数，所以，而 ， 由于在内连续，所以 。 （2）因为为奇函数，所以 3．解：因为为偶函数，所以； 令得，且在上连续， 4．解：作奇延拓，得,使有 计算系数： 5．解：作偶延拓：，计算系数： 6．解： ⅰ：用正弦级数逼近：作奇延拓，由题知周期为，由系数公式： ⅱ：用余弦级数逼近：作偶延拓，由系数公式：