第四章 续函数习题解答.doc

PAGE PAGE 5 第4章 连续函数 §4.1 连续函数的概念 一 基本内容 一、函数在一点的连续性 设函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内有定义，若 SKIPIF 1 0 ， 则称函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点连续． SKIPIF 1 0 ：函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点处连续 SKIPIF 1 0 ． 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点处连续 SKIPIF 1 0 ． 二、单侧连续性 1 左连续 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点左连续 SKIPIF 1 0 ； 2 右连续 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点右连续 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ． 定理： 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点连续 SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 既是左连续又是右连续． 三、间断及其分类 设函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内有定义，若 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点无定义，或 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点有定义但不连续，则称函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处间断． SKIPIF 1 0 点称为函数 SKIPIF 1 0 的间断点或不连续点． 间断的分类． 1 可去间断点 若 SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 点无定义，或 SKIPIF 1 0 ， 则 SKIPIF 1 0 点称为函数 SKIPIF 1 0 的可去间断点． 2 跳跃间断点 左、右极限存在，但不相等的间断点称为跳跃间断点． 而 SKIPIF 1 0 称为跃度． 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，非第一类间断点称为第二类间断点． 实质：第一类间断点 —— 左、右极限都存在； 第二类间断点 —— 左、右极限至少有一个不存在． 三、函数在区间上的连续性 如果 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 内的每一点都连续，则称 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，如果 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续，且在 SKIPIF 1 0 点右连续，在点 SKIPIF 1 0 左连续，则称 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上连续．如果函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上仅有有限个第一类间断点，则称函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上分段连续． 二 习题解答 1 按定义证明下列函数在其定义域内连续． (1) SKIPIF 1 0 ． 证： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，限制 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， 于是 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，取　 SKIPIF 1 0 ， 则 SKIPIF 1 0 时， S