微积分A(二)总复习(多元积分).ppt

多元函数积分学 第三部分 （按积分区域分类） 积分区域 积分区域 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型：对弧长 二型：对坐标 一型：对面积 二型：对坐标 Stokes 公式 Gauss公式 Green公式 ? 多元函数积分学小结 推 广 推 广 推 广 推 广 一、重积分 1. 二重积分 2. 三重积分 二、 曲线积分 1. 2. 3. 4. 格林公式 L：D的边界曲线取正向 四个等价命题 第一类 第二类 三、 曲面积分 1. 2. 3. 第二类 高斯公式 第一类 应 用 ： 平面物体的面积 —— 二重积分 空间物体的体积 —— 三重积分 曲线形物体的弧长 曲面形物体的面积 ——第一类曲线积分 变力沿曲线作功 ——第二类曲线积分 ——第一类曲面积分 ——第二类曲面积分 流向曲面一侧的流量(通量) 掌握： 1，各类积分的计算方法 2，对称性 3，其它性质 关于交换积分次序： 1. 题目中要求 —— 作出 D 的图形，交换积分次序 2. 为避开被积函数中不易积分的变量 —— 主动交换积分次序 3. 证明一个二重积分或三重积分等于 —— 先交换积分次序 重积分中注意： 一个定积分 关于对称性： —— 观察 D 或 Ω ，看能否用对称性 —— 观察 D 或 Ω ，看能否用轮换对称性 曲线、曲面积分中注意： 1. 分清类别，用准公式 (代入方程, 注意方向) 3. D: L 所围平面闭区域，L：闭曲线取正向 （若 L 非闭曲线，则加辅助线） 4. 利用高斯公式： （若 ∑ 非闭曲面，则加辅助面） 直接在各坐标面投影，利用公式化为二重积分 进行计算。 所围空间闭区域， 取外侧方向。 例 题 讨 论 例1： 填空题： (1) 其值为__________. y x 0 2 D 关于x 轴对称， (2) 交换积分次序： y x 0 1 2 3 1 答案： (3) x y 0 R 必须交换积分次序, -R 设平面曲线 L 为下半圆周 ∵ 将路径方程代入被积函数 = 1 ， （下半圆周长 (4) 即半个半径为 1 的圆周长） (5) 0 例2： y x 0 2 解： D 关于 y 轴对称， x 3 是 x 的奇函数， 例3： 用直角坐标、柱面坐标及球面坐标化I为三次积分，并当f = 1时求其体积。 -R 解： (1) 直角坐标 x y z R 0 (2) 柱面坐标 球面坐标 (3) z = -R x y z R 0 x y z -R R 0 V 的另一种求法： 是圆。 例4： 的整个边界。 y x 0 解： 例5： (1) L: 逆时针方向绕 Py = 1 , Qx = y , 利用格林公式， 由对称性 (2) L: 顺时针方向沿 y x 0 1 加辅助线： —