11代数系统－半群与群11 16.ppt

+ Ф {1} {2} {1,2} Ф Ф {1} {2} {1,2} {1} {1} Ф {1,2} {2} {2} {2} {1,2} Ф {1} {1,2} {1,2} {2} {1} Ф 设B={0,a,b,1} S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出 问答并说明理由：1） B,*,+,0,1的代数系统吗？ 2）S1,*,+是代数系统吗？ 是B,*,+,0,1的子代数吗？ 3）S2,*,+,0,1是B,*,+,0,1的子代数吗？ 4）S3,*,+是代数系统吗？ 第十一章 半群与群 § 11．1 半群与独异点 半群与独异点都是具有一个二元运算的代数系统． 一、定义 (1)设V=S ，o 是代数系统，o为二元运算，如果o是可结合的，则称V为半群 (2)设V=S ，o 是半群，若e∈S是关于o运算的单位元，则称V是幺半群， 也叫做独异点．有时也将独异点V记作(S， o ，e)。 (3)半群中元素的幂 定义：对于半群V= S, o o 是可结合的，元素的幂: ? x ∈ S 规定：x1=x ,xn+1 = xn o x n ∈ Z+ 用数学归纳法可证明幂运算满足规则： xn o xm = xn+m (xn)m = xnm 普通数乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等都遵从这个幂运算规则 （4）独异点中的元素的幂: 独异点 V= S, o，e ? x ∈ S 规定：x0= e ,xn+1 = xn o x n ∈N (5)子半群和子独异点 半群的子代数叫做子半群，独异点的子代数叫做子独异点 1）如果V= S， o 是半群， T?S， T对V中的运算o封闭，则 T， o 是V的子半群． 2）如果V= S，o，e 是独异点， T?S， T对V中的运算o 封闭，且e ∈T，则= T，o，e 是V的子独异点． 例：设S={( a 0 ) | a,b∈R }二阶矩阵，其上的运算*为矩阵的乘法 0 b 二阶单位矩阵为幺元 a 0 V= S, * ,e 为独异点 T={ (0 0)|a ∈R } T是S的子集且对运算*封闭， 则V1= T, * 是V的子半群 由于 e不属于T ,且V1中没有幺元 所以V1不是V的子独异点 例：设S={a,b,c} 运算表为右边， V=S,*为半群 构造 V1=SS, o 定义函数 fa(x)=a*x fa ∈ SS 其中的运算o为函数的复合 则V1也是半群 § 11．2 群的定义与性质 一、群的定义 1、定义11．4 设G，? 是代数系统， ? 为二元运算． 如果? 运算是可结合的，存在单位元 e ∈ G， 并且对G中的任何元素x都有x-1 ∈ G，则称G为群。 在含幺半群的基础上添加了条件：每个元素均有逆元 群是半群和独异点的特定情况,有关半群和独异点的性质在群中均成立 2、一个典型的群 例：设G＝｛a,b,c,e ｝ ? 为G上的二元运算 G的运算具有以下的特点： e为G中的单位元； 运算是可交换的； G中任何元素的逆元就是它自己； 在a,b,c三个元素中，任何两个元素 运算的结果都等于另一个元素． 称这个群为K1ein四元群，简称四元群． 2、群中元素的幂(群中元素可以定义负整数次幂 ) 定义： G是群， a∈G ， n ∈ Z 则元素a的n次幂: e n = 0 规定：an = an-1a n0 (a-1)m n0 n=-m 3、元素的阶 定义11．7 设G是群，a ∈ G，使得等式: ak=e 成立的最小正整数是称为d的阶(a的周