[2018年最新整理]11半群与群.ppt

定义11.15 设S＝{1,2,…,n}，S上的任何双射函数σ：S→S称为S上的n元置换。 一般将n元置换σ记为 n元置换的乘法 定义11.16 设σ,τ是n元置换，则σ和τ的复合σ?τ也是n元置换，称为σ与τ的乘积，记作στ。 例如上面的5元置换σ和τ有 n元置换的分解式 k阶轮换与轮换分解方法定义11.17 设σ是S={1,2,…,n}上的n元置换。若σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik-1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其他元素不变,则称σ为S上的k阶轮换,记作(i1i2…ik). 若k=2,这是也称σ为S上的对换。 例如5元置换 ????  分别是4阶和2阶轮换σ=（1 2 3 4）,τ=（1 3），其中τ也叫做对换。 设 S={1,2,…,n},对于任何S上的n元置换σ一定存在着一个有限序列i1,i2,…,ik,k≥1,使得σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik-1)=ik,σ(ik)=i1 例 设S={1,2,…,8},  是8元置换。 为了使得轮换表达式更为简洁,通常省略其中的1阶轮换,例如σ可以写作(1 5 2 3 6)(7 8),如果n元置换的轮换表示全部是1阶轮换。 例如8元恒等置换(1)(2)…(8),那么只能省略其中的7个1阶轮换,可将它简记为(1)。 对换与对换分解方法 设S={1,2,…,n},σ=(i1i2…ik)是S上的k阶轮换,那么σ可以进一步表成对换之积,即(i1i2…ik)=(i1i2)(i1i3)…(i1ik) 回顾关于n元置换的轮换表示,任何n元置换都可以唯一地表示成不相交的轮换之积,而任何轮换又可以进一步表示成对换之积,所以任何n元置换都可以表成对换之积。 例如8元置换 的对换表示式分别为σ=(1 5 2 3 6)(7 8) =(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8)τ=(1 8 3 4 2)(5 6 7) =(1 8)(1 3)(1 4)(1 2)(5 6)(5 7) n元置换群 考虑所有的n元置换构成的集合Sn. 任何两个n元置换之积仍旧是n元置换,Sn关于置换的乘法是封闭的。 置换的乘法满足结合律。 恒等置换(1)是Sn中的单位元。 对于任何n元置换σ∈Sn,逆置换σ-1是σ 的逆元。 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群,称为n元置换群。 作业 2、判定。 定理： 设 为群， 是 的非空子集，若对任意 ，都有 ，则 是 的子群。 例9、设 和 都是群 的子群， 证明 也是 的子群。 因 都是 的子群， 故 ， 从而 ， 证明： ，则 且 ， 由判定定理知， 为 的子群。 3、生成子群，中心。 (1) 生成子群： 设 为群， ，记 例10、 ， 群 中由2生成的子群 同理， ， ， ， 。 3、生成子群，中心。 (1) 生成子群： 设 为群， ，记 (2) 中心： 设 为群， 记 ， 称 为群 的中心。 1、定义： 群 中若存在 使得 ， 则称 为循环群，记 ，称 为 的生成元。 在循环群 中，生成元 的阶与群 的阶一样。 循环群都是阿贝尔群。 循环群的子群都是循环群。 §11.4 循环群与置换群 一、循环群 2、循环群的典型例子。 例1、 是循环群，其生成元为1和－1， 因为任何整数都可由若干个1或者若干个－1 相加而得到。 是无限阶循环群，其子群除了 外都是 无限阶循环群， 如 ，其中 例2、 是 阶循环群， ， 中与 互质的数均可作为生成元。 阶循环群 的子群的阶都是 的正因子， 对于 的每个正因子 ，在 中只有一个 阶子群， 就是由 生成的子群。 如： ，其生成元有 (均与12互质)。 即 12的正因子有 ，则 的子群有： 1阶子群 2阶子群 3阶子群 4阶子群 6阶子群 12阶子群 例如：S＝{1,2,3,4,5}，则 都是5元置换。 二、置换群 任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积。 σ的轮换表示式σ=(1 5 2 3 6)(4)(7 8)τ的分解式τ=(1 8 3 4 2)(5 6 7) * * } } } §11.1 半群与独异点 §11.2 群的定义与性质 第十一章 半群与群 §11.3 子群 §11.4 循环群与置换群 一、半群 1、定义：满足结合律的代数系统 称为半群。 例1、(1) ， ， ， ， 都是半群。 (2) 是半群，其中 表示集合的对称 差运算。 §11.1 半群与独异点 满足交换律的半群称为可交换半群。 2、独异点 (含幺半群)： 记作 如例1中除了 不是独异点外，其余的均是 独异点， 分别记作 ， ，