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* 第十一章 无穷级数 复习与习题 第十一章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 1.常数项级数的定义： 为(常数项)（无穷）级数. 一般项 ◆级数的（前n项）部分和数列： ◆级数的（前n项）部分和： 一、常数项级数的概念 2.常数项级数的收敛与发散的定义: 推论 二、收敛级数的基本性质 级数的收敛性不变. 性质1 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 性质2 即 收敛级数可以逐项相加和逐项相减. 性质3 在级数中任意去掉、加上、改变有限项, 级数的收敛性不变. 性质4 推论1 如果加括号后所成的级数发散, 则原级数发散. 推论2 如果两种加括号后所成的级数都收敛,但和不同, 则原级数发散. 四、级数收敛的必要条件 定理 1.定义: 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: ◆基本定理 第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 3. 比较审敛法 证明 例 4.比较审敛法的极限形式(比较极限法）: 解 故原级数发散. 例 故原级数收敛. 5.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)： 解 例 6.根值审敛法 (柯西判别法)： 解 例 三、交错级数及其审敛法: ◆定义: 称正负相间或负正相间的级数为交错级数. ◆莱布尼茨定理 解 由莱布尼茨定理知, 例 原级数收敛. ◆对于一般的级数 四、绝对收敛与条件收敛 定理 例 解 ◆定义: 例 解 故原级数收敛,且为条件收敛. 练习题 第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 1.定义: 2.收敛点、发散点，收敛域、发散域: 2.收敛点、发散点，收敛域、发散域: 余项 (对于收敛域上的任何x ) 注意 函数项级数在某点x处的收敛问题,实质上就是 常数项级数的收敛问题. 3.和函数: 解 例 1.定义: 2.收敛域: 二、幂级数及其收敛性 定理1[阿贝尔(Abel)定理] ◆几何说明: 收敛 发散 发散 ◆收敛半径的定义: 则称R为幂级数的收敛半径. 称开区间(-R,R)为幂级数的收敛区间. ◆规定 定理2 例 求下列幂级数的收敛域: 解 发散， 收敛， 故收敛域为： 故收敛域为： 故收敛域为： 发散, 收敛, 所以所求收敛域为 (0,1]. *