近世代数--半群.doc

定义1 设是一个非空集合，在上有一个二元代数运算,记“·”,称为“乘法”，如果这个运算满足结合律，即对则称是一个半群。定义设V=S,是代数系统,为二元运算,如果运算是可结合的,则称V为由半群定义可见，半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构。 例1 自然数集N，按通常数的加法运算“+”N,+，构成半群按通常乘法运算N, ·，也构成半群。例按通常数的加法运算“+”Z+,+, 整数集按通常数的加法运算“+”Z,+, 有理数集按通常数的加法运算“+”Q,+,实数集按通常数的加法运算“+”R,+均构成半群,+是普通加法例设n是大于1的正整数,Mn(R),+和Mn(R),·都是半群,也都是独异点,其中+和·分别表示矩阵加法和矩阵乘法。例整数集Z，按通常数的减法“-”运算Z,-，不构成半群。定义设V=S,是半群,若eS是关于运算的单位元,则称V是含幺半群,也叫做独异点。有时也将独异点V记作V=S,,e. 可以看出，独异点是含有幺元的半群。 N,+,Z,+,Q,+,R,+都是半群,+是普通加法。这些半群中除Z+,+外都是独异点。P(B),为半群,也是独异点,其中为集合的对乘差运算。(4)Zn,为半群,也是独异其中Zn={0,1,…,n-1},为模n加法(5)AA,为半群,也是独异点,其中为函数的复合运算。定义如果半群满足交换律,即则称半群是交换半群定义定理 设是一个交换半群，则对中任意个元素的乘积,可以任意交换顺序，即它们任意交换顺序计算的结果都相等。定义定理定义定理定义定义定义定理定理定理定义设是一个半群，如果存在元素, 使得对任意元素,都有,则称是的一个左单位元；如果对任意元素,都有,则称是的一个右单位元，如果,使得既是左单位元又是右单位元，则称是的单位元。注：1、左单位元，体现在是从左边乘以任意元素,即右单位元,就是从右边乘以元素，使得单位元是当然的左单位元，也是当然的右单位元。但左单位元未必是单位元，同样右单位元也未必是单位元。、如果是交换半群，则左单位元与右单位元就没有区别了，因此这时左单位元也是右单位元,从而都是交换半群的单位元。但如果不是交换半群，那差别就可能很大了。定理7设是一个交换半群，如果是左单位元，是右单位元，则因此是的唯一的单位元。半群Z+,+没有单位元，因为不存在一个数加上任意数还是等于,但半群N,+ 有单位元群有单位元1半群有单位元0。例群的乘法表如下 　　 　　则半群有单位元1。 　　例群的乘法表如下 　　 则中每一个元素都是左单位元，但没有右单位元，因此没有单位元。定义设是一个半群，是的单位元，对的元素如果有称是左可逆元，而是的左逆元；同样这时，也称是右可逆元，是的右逆元。如果元素既是左可逆,又是右可逆元，则称是可逆元。 注意：在任意一个有单位元的半群中，单位元自身是当然的可逆元，但除单位元外是否还有其他可逆元，这是人们所关心的。比如例1中有单位元1，但除1外其他任意元素都是不可逆元。但前面的例半群中，1是单位元，2的逆元是3，3的逆元是2，单位元的逆元当然是自身。因此的每一个元素都是可逆元半群也是如此，单位元即零元0, 此外的每一个元素都是可逆元，其逆元是。定理在半群中如果是左可逆元又是右可逆元，则的左逆元与右逆元相等。这时把的左（右）逆元称为的逆元这个定理表明，如果半群有单位元，并且元素是可逆元，则的逆元素是唯一的,因此今后常用表示的逆元。