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第 1 讲 第 一 章 基 本 概 念 §1—3 集合、映射及代数运算 （2课时） （Sets mapping and algebra operation ） 本讲教学目的和要求：本讲主要介绍本书中将用到的有关集合、映射和代数运算的一些基本知识和基本概念。要求学生掌握以下概念： 1、元素属于（不属于）集合与集合包含（不包含）另一集合的区别。 2、子集、真子集；集合的运算（交、并、差、补、布而和等）。 3、映射的定义，元素关于硬是个的象、逆象。单射、满射、双射及卡氏（）积。 4、代数运算（包括） 本讲的重点和难点：代数运算（二元运算）的掌握及映射概念的把握。尤其是掌握各类映射（单射、满射及双射）的定义、陈述。 本讲的教法及教具：使用投影仪和展示台。在教学过程中充分启发学生进行思考和提问。 本讲思考题：蕴涵在教学过程中。 布置作业：。 教学内容及过程： 一、集合 定义1：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）。集合中的每个事物叫做这个集合的元素（简称元）。 例1：师院99级数学与应用数学专业的全体学生组成一个集。而每个学生就称为这个集中的元素。 定义2：没有元素的集合叫做空集，记为，且是任一集合的子集。 例2：一切满足方程的实数组成的集合是空集。 （1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。 例3：“由我院胖子组成的集合”这不能组成一个集合。（违反了确定性） 例4：集合中的元素要求两两互异。即：｛1，2，2，3｝=｛1，2，3｝。 （2）集合表示： 习惯上用大写拉丁字母A，B，C…表示集合， 习惯上用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素。 若a是集合A中的元素，则记为。 表示集合通常有三种方法： 1、枚举法（列举法）： 例5：A=｛1，2，3，4｝，B=｛1，2，3，…，100｝。 2、描述法：—元素具有的性质。 例6：。显然例6中的A就是例5的A。 3、绘图法：用文氏图（）可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。 例7：利用例5的A和B，可构制出文氏图： （3）集合的蕴含（包含） 定义3：若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为，否则说B是A的子集，记为. 思考题1：如何用语言陈述“”？ 定义4：设，且存在，那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。 思考题2：若，但B不是A的真子集，这意味着什么？ 定义5：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称A与B相等，记为A=B. 结论1：显然，. （4）集合的运算 ①集合的并： ②集合的交： ③集合的差： ④集合在全集内的补： ⑤集合的布尔和（对称差）： ⑥集合的卡氏积： 注：中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。 卡氏积的推广： 对上述集合运算，可以得到一批基本公式： 思考题3： （1） ； ； ； ； （2）证明等式： （3）设有集合A，B： 若，则A与B有什么关系？ 若，则A与B有什么关系？ 二、映射： 定义6：设是集合A到B的一个对应法则：如果对A中任一元素a，关于都有B中的元素b与其对应，那么称法则是由A到B的一个映射。 其中，记，b是a关于的象，a是b在下的逆象。 映射的分类：设 （1）单射（一对一映射） （2）满射（映上的）： （3）双射（一一对应） 若f既是单射又是满射，则f是双射。 (或) 思考题4：试说一说：当f ①不是单射；②不是满射；时该怎样叙述？ 例8 （）；注意 （） 映射的相等： 三、代数运算： 设给定， 如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有 定义7：任一个的映射都叫做的一个代数运算。 事实上，我们都接触过代数运算。 例9： 为方便起见，以后凡是代数运算都不用映射符号等。 例10：（整数内的减法） 上述的例子都是的情形，一般情况下，有 例11（） 注意：（） 代数运算表：当都是有限集时，那么的每一个代数运算都可以用运算表表示。 设，则运算表为： … … … … … … … … … … … 注：对于代数运算的运算表，要求中元素在上表中的位置互换。 在实际工作中，更多的是的情形，这时，有如下定义： 定义8：若的代数运算，则可称是的代数运算或称对是封闭的。 课堂练习： which of the following rules are algebra operations on the indicated set? 1、 2、 3、 4、 5、 6、 Solution:1、 2、 3、 4、