第7章-代数系统.ppt

子代数 设A=S, *,△是一个代数，如果 1)S’?S 2)S’对S上的运算*,△封闭 那么，A’=S’, *,△是A的子代数。 7.1.4 代数系统 从具体结构中找出运算的共同特征； 利用这些共同特征定义一个抽象的结构； 在抽象结构中演绎运算的相关性质； 任何满足抽象结构条件的具体结构一定满足抽象结构中演绎出的相关性质； 对抽象结构的研究就是代数学； 一个赋予一组运算和一些特殊元素并满足一定的运算规律的抽象结构称为代数系统，如A,*,e，简称代数。 代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载体）和定义在载体集合上的运算构成。 注： ①载体一般是非空集合，例：整数集，实数集，符号串集合等。 ②定义在载体A上的n元运算是一个从An到A的函数。 例：１）取整 [X]，求绝对值 |X|，是一元运算 ２）+, ×是二元运算 代数学一般研究一元，二元运算。 ③当n等于0时，0元运算就是A中的常量。 7.2 同态与同构 设代数系统A=S,*和A’=S’,*’, .若 (1)h:S?S’是一函数 (2)?a,b?S，有h(a*b)=h(a)*’h(b) 则称h是从A到A’的一个同态函数,简称同态。 记为A~A’. 若h是单射,满射,双射, 则分别称h是单一同态,满同态,同构。 特别地，若S=S’, 称h是自同态； 若S=S’,且h是同构,称h是自同构。 同构记为A≌A’. 例1.证R+ , · 同构于R,+ 证:i)令h:R+?R,h(x)=lgx 则因对数函数单调增 ?h是单射 ?y?R,?x ?R+,x =10y使y=lg10y =h(x) ?h是满射 ?h是从R+到R的双射 ii) ?a,b?R+, h(a?b)=lg(a·b)=lga+lgb=h(a)+h(b) 且h(1)=lg1=0 ?R+, · ,1同构于R,+,0 例2 . 从I,+到I,+的自同态 fk: I?I,fk(x)=kx，其中k为整数 ∵fk (x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=fk(x1)+fk(x2) ?fk是从I,+到I,+的自同态。 若k?0,则fk是单一同态, 若k=?1,则fk是I,+到I,+的自同构。 例3.证明N,+和I+, ? 不同构 证:反证法 设h:N ?I+是N,+到I+, ? 的一个同构映射, 设p ?I+为质数，p2，p=h(x),x=2 则: p=h(x)=h(x+0)=h(x)?h(0)=1?p p=h(x-1+1)=h(x-1) ?h(1)=1?p ?h(x)或h(0)为1，且h(x-1)或h(1)为1， 又01=xx-1,p为质数， ? 1至少是两个元素的象, 这与h是双射矛盾 ? N,+和I+, ? 不同构. 例4.证明：N,+到Nk,+k存在满同态， 证：f :N?Nk(k0)， f(x)=x mod k 设x1=lk+ h1,x2= mk + h2 (h1,h2k) 则∵f(x1+x2)=(x1+x2)mod k=(h1+h2)mod k =h1+kh2 = f(x1)+kf(x2) ?f(x1+x2)=f(x1)+kf(x2) 又∵f是满射 ? f是N,+到Nk,+k的满同态 注:若h是A,* ? B,* 的同态, A,*满足结合律、交换律，有幺元, 但B,*’不一定满足结合律,交换律及有幺元。 例5.设A={a,b,c,d},B={0,1,2,3} * a b c d *’ 0 1 2 3 a a b c d 0 0 1 1 0 b b b d d 1 1 1 3 1 c c d c d 2 1 2 3 0 d d d d d 3 0 1 2 3 设h:A?B：h(a)=0, h(b)=1 h(c)=0,h(d)=1 可证h是A，*到 B，*’ 的同态。 〈A，*〉中a是幺元,d是零元,可交换、可结合 〈B，*’〉 3是左幺元，但不可交换，不可结合 如： 2*’（1*’3）=2*’1=2 （2*’1）*’3=2*’3=0 不可结合 1*’2=3 2*’1=1 不可交换 同态像定理:设h是从A=S, * 到A’= S’, *’ 的同态， 那么h(S), *’ 是A’的子代数，称为在h下的同