第6章 代数系统基础.ppt

第6章 代数系统基础 第一节 代数系统的一般概念 第二节 同态和同构 第三节 同余关系 第四节 商代数和积代数 第一节 代数系统的一般概念 1、代数系统的定义 2、代数系统满足的条件 3、子代数系统 4、同类型的代数系统 1、代数系统的定义 2、代数系统满足的条件 （1）非空集合X； （2）有一些建立在集合X上的运算； （3）这些运算在集合X上是封闭的。 代数系统举例 I+，+ ρ(S)，∪，∩ {0, 1}，+ 代数系统举例 N4={0，1，2，3} , i +4 j=(i+j)(mod4) 问： N4 ， +4是代数系统吗？ 代数系统举例 设A={1，2，3，4，6，12} A上的运算*定义为：a*b=|a-b| （1）写出二元运算的运算表； （2）A, *能构成代数系统吗？ 解答 由运算表可知*运算在集合A上不封闭 所以： A, *不能构成代数系统 3、子代数系统 子代数系统举例 I, +是一个代数系统 设E：偶数集合 则：E, +是I, +的子代数系统。 4、同型的代数系统 同类型的代数系统举例 V1=Nm,+m , ?m 和V2=R,+, ? 是同类型的代数系统吗？其中： i +m j=(i+j)(mod m) i ?m j=(i?j)(mod m) 第二节 同态和同构(重点) 一、同态 二、同构 一、同态 1、同态的定义 2、同态的举例 3、满同态、单一同态、自同态 1、同态的定义 2、同态举例 其中：g:N→{0, 1}，且定义为： g(n)=0 (n?N) 证明 （1）显然N, × 与{0, 1}, × 同型的代数系统； （2）运算的象=象的运算 对任意的m, n?N，来验证 g(m ×n)=g(m) ×g(n) g(m×n)=0 g(m)×g(n)=0×0=0 即：g(m ×n)=g(m) ×g(n) (说明g是个同态映射) 所以：N， × 与{0，1}， × 同态 3、满同态、单一同态、自同态 (1) 如果f是满射函数，则称f为满同态； (2) 如果f为单射函数，则称f为单一同态； (3) 如果U=V，则称f为自同态。 自同态举例 其中：g:I→I，且定义为： g(n)=3n (n?I) 证明 (1) 显然I， + 与I， + 是同型的； (2) g(m+n) =g(m)+g(n) ？ 对任意的m,n?N g(m+n)=3(m+n)=3m+3n=g(m)+g(n) 所以： I， + 与I， + 同态,且是个自同态。 满同态举例 第一步：证明f是个同态 (1)显然U=I,+, ?和V= Nm,+m, ?m 是同型的代数系统 (2) 证明f满足同态的定义，即： 对任意的 i, j?I: f(i+j)= f(i) +m f(j) f(i ? j)=f(i) ?m f(j) 证明: f(i+j)=f(i) +m f(j) f(i+j) =(i+j)(modm) =((i)(modm)+(j)(mod m))(modm) =(i)(modm) +m (j)(modm) =f(i) +m f(j) 证明:f(i ? j)=f(i) ?m f(j) f(i ? j) =(i ? j)(mod m) =((i)(mod m) ? (j)(mod m))(mod m) =(i)(mod m) ?m (j)(mod m) =f(i) ?m f(j) 所以： U=I,+, ?和V= Nm,+m, ?m 同态 第二步：证明f是满射函数 对于任意的i? Nm , 均有i?I，使得： f(i)=(i)(modm)=i 即: Rf=f(I)= Nm 所以：U=I,+, ?和V= Nm,+m, ?m 是满同态 满同态的特点 满同态保持运算性质单方向运载，即： 定理 设f是X, ° 到Y, *的满同态，则： (1) 若°运算可交换，则*运算也可交换； (2) 若°运算可结合，则*运算也可结合； (3) 若°有幺元e，则*有幺元f(e); (4) 若°有零元? ，则*有零元f(?); (5) 若x?X有逆元x-1,则f(x)?Y有逆元f(x-1) 单一同态举例 证明 (1) 显然R,+和 R, ? 同型的代数系统 (2) 运算的象 = 象的运算 对于任意的x, y?R，有： g(x+y) = 2x+y = 2x?2y = g(x) ? g(y) (3) 来证g是单射函数 任取x1, x2?R, x1 ≠x2, 因为g(x1)=2x1, g(x2)=2x2 所以g(x1) ≠ g(x2) ，即g是单射函数 由（1）~（3）知：g是个单一同态。 推论 二