代数系统与群结构.pptx

代数系统与群结构 2017-11-24 1 ——苑斌、刘致宏、廖智强、王伟 代数系统（苑斌讲）、群结构（刘致宏讲） 2017-11-24 1、n元运算： 设S是一个非空集合，映射f：Sn  S 称为S上的一个n元运算，n 称为这个运算的阶数（或元数）。 特别：若f：SS，则 f 称为S上的一元运算。 若f：S2S，则 f 称为S上的二元运算。 代数运算 代数系统 2、一元运算（例） 2017-11-24 3 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的 一元运算:  求倒数 (3) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~  (4) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求 反函数 (5) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵 3、二元运算（例） (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法.   (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘为 S 上 二元运算. 具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。相反的，没有这种特征的运算就是不封闭的。 封闭定义：对于集合A，一个从An到B的映射，称为集合A上的一个n元运算。如果BA，则称该n元运算是封闭的。 不是所有的代数系统都是封闭的，但一般情况下，我们总是讨论封闭的代数系统。 2017-11-24 4 2017-11-24 定义：设 *为 S 上的二元运算, (1) 如果对于任意的 a, b S 有 , 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 a, b, c ∈S 有 , 则称运算在 S 上满足结合律.  (3) 如果对于任意的 a∈ S 有 , 则称运算在 S 上满足幂等律. 4、二元运算性质 2017-11-24 5、单位元 设 * 是定义在集合 A 上的二元运算: 若 一个元素 e l A，使对  a  A，都有 e l * a = a，则称 e l是A中关于运算 * 的左单位元； 若 一个元素e r A，使对  a  A，都有 a * e r = a，则称 e r 是A中关于运算 * 的右单位元； 若 一个元素 e A，使对  a  A，都有e * a = a * e = a，即 e 既是左单位元又是右单位元，则称 e 是A中关于运算 * 的单位元。 例：在实数集R上，加法有单位元0，乘法有单位元1。 2017-11-24 6、零元 设 * 是定义在集合 A 上的二元运算: 若 一个元素 0l A，使对  a  A，都有 0l * a = 0l ，则称 0l 是A中关于运算 * 的左零元； 若 一个元素0r A，使对  a  A，都有 a * 0r = 0 r ，则称 0r 是 A中关于运算 * 的右零元； 若 一个元素 0 A，使对  a  A，都有0 * a = a * 0 = 0，即 0 既是左零元又是右零元，则称 0 是A中关于运算 * 的零元。 例：在实数集R上，加法没有零元，乘法有零元0。 2017-11-24 7、逆元 设 * 是集合A上具有单位元 e 的二元运算，对于元素 a  A: 若 一个元素 a l -1A，使得 a l -1* a = e ，则称元素a 对于运算 * 是左可逆的，并称 a l -1为 a 的左逆元； 若 一个元素 a r -1A，使得 a * a r -1 = e ，则称元素a 对于运算 * 是右可逆的，并称a r -1为a的右逆元； 若 一个元素 a -1A ，使得 a -1* a = a * a -1 = e