离散第2接氩 代数结构P18 .ppt

* 作业 P178-180 15,17,18 九教 北304 黄学臻老师九教 北107B 刘吉强 jqliu@bjtu.edu.cn * * 代数结构（Algebraic Structure） (二元)运算 封闭性 可交换性 可结合性 幂等性 可分配性 吸收性 代数系统 单位元（幺元）e 零元θ 可逆元和逆元 幂等元 * 逆元举例 eg10. Z,+每一个元都有逆元(0为单位元) Z+,?只有1有逆元　(1为单位元) Zn,+n ，Zn={0,1,...,n-1}，+n　模n加法(0为单位元) Zn,*n ，Zn={0,1,...,n-1}，*n　模n乘法(1为单位元) * 常用运算特异元素 * 逆元的特殊作用 b°a =c°a ° a- 1 ° a- 1 b ° e=c ° e b=c * 消去律 定义9.11 设A为集合，°为A上二元运算，若?a,b,c∈A, （1）a°b=a°c ∧ a≠θ ? b=c (左消去律) （2）b°a=c°a ∧ a≠θ ? b=c (右消去律) 则称°运算满足消去律。 * 消去律实例 Z, Q, R，+，× 满足消去律 Mn(R), 矩阵+满足消去律，矩阵×不满足消去律 P(B), ⊕ 满足消去律，∪、∩、?不满足消去律 设 Zn={0, 1, …, n-1} ，其中n 是正整数， V= Z5, 表示模5乘法的代数系统， V中的运算满足消去律。 V= Z4, ？ * 代数系统 在集合上定义若干个运算而组成的系统，常称为代数系统。 定义9.12：一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算o1,o2,...,ok所组成的系统就称为一个代数系统，记作A, o1,o2,...,ok * * 同类型的代数系统 定义9.13：如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统. 例 V1= R , +, ? , - , 0 , 1 V2= P(B), ∪, ∩, ～, ,B * * 实例 同类型的代数系统仅仅是构成成分相同， 不一定具有相同的性质. V1 V2 +和 ?可交换,可结合 ∪和∩可交换,可结合 ?对+可分配 ∪和∩互相可分配 +和 ?不遵从幂等律 ∪和∩都有幂等律 +和 ?没有吸收律 ∪和∩有吸收律 +和 ?都有消去律 ∪和∩一般没有消去律 V1= R , +, ? , - , 0 , 1 V2= P(B), ∪, ∩, ～, ,B * 子代数 定义9.14 设V=A,o1,o2,…,or是代数系统，B是A的非空子集. 若B对于V中的所有运算封闭（含代数常数在内），则称V’= B,o1,o2,…,or 为V的子代数，若B?A,子代数V’称为V的真子代数. 平凡子代数：V是V的平凡子代数. * * 子代数实例 N ,+ 是Z,+ 的子代数， N ,+,0 是Z,+, 0的子代数 Z+ ,+,0 不是Z,+, 0的子代数 注意代数常数一定要在子代数中出现！ * * 积代数的定义 定义9.15：设V1=A, ° 和V2=B, * 是同类型的代数系统, °和*为二元运算，在集合A×B上定义二元运算?,? a1， b1 , a2， b2 ∈ A×B,有 a1， b1 ? a2， b2 = a1 ° a2 , b1 * b2 . 称V = A×B , ? 为V1与 V2 的积代数，记作 V1 × V2. 这时也称 V1 和 V2 的因子代数. * * 积代数举例 例 9.9：设V1 和 V2 分别为模 3 和模 2 加的代数系统，给出V1 × V2的运算表，并说明它的运算是否具有交换律与结合律，是否具有单位元。 V1 × V2={0,0,0,1,1,0, 1,1,2,0,2,1} * 运算表 0,0 0,1 1,0 1,1 2,0 2,1 0,0 0,0 0,1 1,0 1,1 2,0 2,1 0,1 0,1 0,0 1,1 1,0 2,1 2,0 1,0 1,0 1,1 1,1 2,0 2,0 2,1 2,1 * * 积代数与因子代数性质 定理9.5：设V1=A, ° 和V2=B, * 是同类型的代数系统, V1 × V2 = A×B , ? 是它们的积代数. (1) 如果°和*运算是可交换（可结合、幂等）的，那么?运算 也是可交换（可结合、幂等）的； (2) 如果 e1和 e2（θ1和θ2 ）分别为°和*运算的单位元(零元)，那么e