代数结构与组合数学__半群与独异点.pdf

第十六章半群与独异点 16.1 半群与独异点 半群、独异点的定义与性质 半群与独异点定义 半群与独异点性质 半群、独异点的子代数、积代数、商代数 子半群与子独异点 半群与独异点的直积 商半群与商独异点 半群与独异点的同态 独异点的表示定理 1 半群与独异点的定义 广群、半群、独异点（含幺半群）的定义 广群：封闭二元运算 半群：封闭二元运算，结合律 独异点：封闭二元运算，结合律，单位元 说明：任何半群都可以扩张成独异点 表示式中可以省略运算符 2 半群与独异点性质 幂运算的定义 半群 独异点 1 0 a = a a = e n+1 n a = a a 性质： (1) 定理1 幂运算的等式 n m n+m a a = a n m nm (a ) = a (2) 结合律 3 实例 例1 V 为半群，任取a,b ∈S, 如果a≠b, 则有ab≠ba ， 证明 (1) V 中成立幂等律 (2) ∀a,b ∈V, aba = a (3) ∀a,b,c ∈V, abc = ac 证 (1) 假若aa ≠ a, 则 (aa)a ≠a(aa) ⇒aaa ≠aaa，矛盾 (2) 假若 aba ≠ a, 则 (aba)a ≠ a(aba) ⇒aba ≠aba ，矛盾 (3) 假若 abc ≠ac, 则 (abc)(ac) ≠ (ac)(abc) ⇒abcac ≠acabc ⇒ab(cac) ≠ (aca)bc ⇒abc ≠ abc ，矛盾 4 子半群、子独异点 子半群、子独异点B 的判别 非空子集B ， B 对于V 中的运算（含0元运算）封闭. 定理2 若干子半群的非空交集仍为子半群； 若干子独异点的交集仍为子独异点. 重要的子半群子集合B生成的子半群 V=S,*, B⊆S,包含B 的最小的半群 B=∩{A | A 是S 的子半群，B⊆A } n B B n U , B ={ b b …b | b ∈B, i=1,2,…,n } 1 2 n i n∈Z + 5 实例 例2 V=Z,+半群，B={4,6}, B={ 4i+6j | i,j ∈N, i 和j 不同时为0 } + ={ 4,6,8,10,12,14,