代数结构与组合数学__群2.pdf

17.2 子群 子群定义 子群判别定理 重要子群的实例 生成子群 中心 正规化子 共轭子群 子群的交 子群格 1 子群定义 定义 设G为群, H是G 的非空子集，若H 关于G 中运 算构成群，则称H 为G 的子群，记作H≤G. 如果子群H 是G 的真子集，则称为真子群，记作HG. 说明：子群H 就是G 的子代数. 假若H 的单位元为e’, 且x 在H 中相对e’ 的逆元为x ’, 则 xe ’= x = xe ⇒e’ = e xx ’ = e’ = e = xx−1 ⇒x ’= x−1 2 子群判定定理一 定理1 G 是群，H 是G 的非空子集，则 H≤G ⇔∀a,b ∈H, ab ∈H, b−1 ∈H 证：只证充分性. H 非空，存在a 属于H ， 由条件2 ，a−1属于H ， 由条件1，有aa−1属于H, 即e 属于H 3 子群判定定理二和三 定理2 G是群，H是G的非空子集，则 H≤G ⇔∀a,b ∈H, ab−1 ∈H 证 充分性. H ≠∅⇒∃b ∈H b ∈H ⇒bb−1 ∈H ⇒e ∈H ∀a, a ∈H ⇒ea−1 ∈H ⇒a−1 ∈H ∀a,b, a,b ∈H ⇒a,b−1 ∈H ⇒a(b−1 −1 ) ∈H ⇒ab ∈H 定理3 G是群，H 是G 的有限非空子集，则 H≤G ⇔∀a,b ∈H, ab ∈H 证明见教科书. 4 重要子群的实例 a生成的子群 a = { ak | k ∈Z } ，a ∈G B生成的子群B = ∩{ H | H≤G, B⊆H }, B⊆G B = { b1e1 b2e2 ...bn en | bi ∈B , ei ±1, i 1,2,..., n, n ∈Z +} 中心 C = { a | a ∈G, ∀x ∈G(ax=xa) } a 的正规化子 N(a) = { x | x ∈G, xa=ax }, a ∈G H 的正规化子N(H) = { x | x ∈G, xHx−1=H }, H≤G 共轭子群 xHx−1 = { xhx −1 | h ∈H } 其中H≤G, x ∈G 子群的交 H, K≤G, 则 (1) H∩K≤G (2) H∪K≤G ⇔H⊆K∨K⊆H 5 关于子群的证明 证明中心C为子群 证 由于e属于C, C非空. 任取x, y ∈C，对于任意a ∈G有 −1 −1 −1 −1 −1 −1 (xy )a = x (y a) = x (a y ) = x (ya ) = x(ay−1) = (xa)y −1 = (ax)y −1 = a(xy−1) 因此xy−1属于C. 由判定定理2 ，命题得证. 6 重