代数结构与组合数学__群3.pdf
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17.4 变换群与置换群
变换群
变换群的定义
变换群的实例
n元置换群
置换的表示
置换的乘法和求逆运算
置换群中元素的阶与子群
置换群的实例
1
变换群
变换群的定义
A 上的变换: f :A→A
A 上的一一变换: 双射f :A→A
A 上的一一变换群:E(A)={ f |f :A →A 为双射}
关于变换乘法构成群
A 上的变换群G: G⊆E(A)
实例
G 为群,a ∈G,令f :G→G, f (x)=ax ,则f 为一一变换.
a a a
H={ f a | a ∈G}关于变换乘法构成G 上的变换群.
H≤E(G)
2
变换群的实例
例如 G={ e, a, b, c },
fe={e,e,a,a,b,b,c,c}
fa={e,a,a,e,b,c,c,b}
f b={e,b,a,c,b,e,c,a}
f c={e,c,a,b,b,a,c,e}
H={f e , fa , fb , fc }
思考:怎样证明H 同构于G
与独异点的表示定理进行比较
3
n元置换群
A 上的n 元置换:|A | = n 时A 上的一一变换
表示法
(1) 置换的表示法:令A={ 1, 2, …, n },
1 2 ... n
σ
(1) (2) ... (n)
σ σ σ
(2) 不交轮换的分解式:σ = ττ …τ,
1 2 t
其中 τ τ , …,τ 为不交轮换
1, 2 t
(3) 对换分解式:
对换 ( i j ) =( j i )
(i i …i ) = (i i ) (i i ) … (i i ) 4
1 2 k 1 k 1 k-1 1 2
n元置换的轮换表示
定理1 任何n 元置换都可以表成不交的轮换之积,
并且表法是唯一的. 即:
σ=σ σ …σ, σ=τ τ …τ ⇒ {σ,σ,…,σ}={τ ,τ ,…,τ }
1 2 t 1 2 l 1 2 t 1 2 l
证明思路
(1) σ可以表成不交的轮换之积. 归纳证明.
(2) 唯一性. 假设
σ=σ σ …σ, σ=τ τ …τ.
1 2 t 1 2 l
令 X={
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