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代数结构与组合数学__群3.pdf

发布:2017-09-14约9.2千字共22页下载文档
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17.4 变换群与置换群 变换群 变换群的定义 变换群的实例 n元置换群 置换的表示 置换的乘法和求逆运算 置换群中元素的阶与子群 置换群的实例 1 变换群 变换群的定义 A 上的变换: f :A→A A 上的一一变换: 双射f :A→A A 上的一一变换群:E(A)={ f |f :A →A 为双射} 关于变换乘法构成群 A 上的变换群G: G⊆E(A) 实例 G 为群,a ∈G,令f :G→G, f (x)=ax ,则f 为一一变换. a a a H={ f a | a ∈G}关于变换乘法构成G 上的变换群. H≤E(G) 2 变换群的实例 例如 G={ e, a, b, c }, fe={e,e,a,a,b,b,c,c} fa={e,a,a,e,b,c,c,b} f b={e,b,a,c,b,e,c,a} f c={e,c,a,b,b,a,c,e} H={f e , fa , fb , fc } 思考:怎样证明H 同构于G 与独异点的表示定理进行比较 3 n元置换群 A 上的n 元置换:|A | = n 时A 上的一一变换 表示法 (1) 置换的表示法:令A={ 1, 2, …, n },  1 2 ... n  σ   (1) (2) ... (n) σ σ σ  (2) 不交轮换的分解式:σ = ττ …τ, 1 2 t 其中 τ τ , …,τ 为不交轮换 1, 2 t (3) 对换分解式: 对换 ( i j ) =( j i ) (i i …i ) = (i i ) (i i ) … (i i ) 4 1 2 k 1 k 1 k-1 1 2 n元置换的轮换表示 定理1 任何n 元置换都可以表成不交的轮换之积, 并且表法是唯一的. 即: σ=σ σ …σ, σ=τ τ …τ ⇒ {σ,σ,…,σ}={τ ,τ ,…,τ } 1 2 t 1 2 l 1 2 t 1 2 l 证明思路 (1) σ可以表成不交的轮换之积. 归纳证明. (2) 唯一性. 假设 σ=σ σ …σ, σ=τ τ …τ. 1 2 t 1 2 l 令 X={
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