【金版教程】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量第27课时平面向量数量积的物理背景及其含义检测试题 新人教A版必修4.DOC

【金版教程】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量第27课时平面向量数量积的物理背景及其含义检测试题 新人教A版必修4 一、选择题 1．[2013·雷州联考]在ABC中，a＝5，b＝4，C＝60°，则·的值为(　　) A．－10　 B．10 C．－10 D．10 解析：·＝||||cosC＝a·b·cosC＝5·4·cos60°＝10. 答案：B　 2．[2013·江西南昌月考]已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12.则向量a在向量b方向上的投影为(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：a在b方向上的投影为＝＝－4. 答案：B　 3．在ABC中，＝a，＝b，a·b0，则ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 解析：由题意得a与b的夹角是θ＝π－B，由a·b0，得cos(π－B)0，即－cosB0，cosB0，所以B为钝角，ABC是钝角三角形． 答案：C　 4．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题：|a·b|＝|a||b|a∥b；a、b反向a·b＝－|a||b|； a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；|a|＝|b||a·c|＝|b·c|.其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：a·b＝|a||b|cosθ，由|a·b|＝|a||b|及a、b均为非零向量可得|cosθ|＝1，θ＝0或θ＝π，a∥b，且以上各步均可逆，故命题是真命题；若a、b反向，则a、b的夹角为π，a·b＝|a||b|cosπ＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题；当ab时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的平行四边形为矩形，所以有ab，因此命题也是真命题；当|a|＝|b|，但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|.反过来，由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题是假命题．故选C. 答案：C　 二、填空题 5．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(3a＋b)的值为－8. 解析：b·(3a＋b)＝3a·b＋|b|2＝3|a||b|cos120°＋16＝－8. 6．[2013·江南十校联考]边长为1的等边三角形ABC中，则·＝－. 解析：·＝－·＝－||||cosB＝－. 7．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，(a＋b)·(2a－3b)＝12，则|b|＝；b在a方向上的投影等于1. 解析：由(a＋b)·(2a－3b)＝12，可得a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝；b在a方向上的投影等于|b|cosθ＝×＝1. 三、解答题 8．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b；(2)(3a)·(b)；(3)(3b－2a)·(4a＋b)． 解：(1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60. (2)(3a)·(b)＝(a·b)＝×(－60)＝－36. (3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968. 9．向量a，b均为非零向量，且|a|＝|b|，a、b不是共线向量．求证：(a－b)(a＋b)． 证明：|a|＝|b|，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0. a、b均为非零向量，且a、b不共线， a－b≠0，a＋b≠0.(a－b)(a＋b)． 2