数理统计方法题解2-2.doc

2.9 证明：若 ～，则 ～ 。 证 因为～，由分布定义可知，必有～，～，两者相互独立，使得 ，这时 。 因为 ～，由分布定义可知 ～，而且因为 与 相互独立，所以 与 ～ 相互独立，因此，由分布定义可知 ～ 。 2.10 设（）是总体 ～ 的样本，证明： ～ 。 证 因为（）是总体 ～ 的样本，所以 ～，～， ， 而且它们相互独立。 由分布定义可知 ～， ～， 而且两者相互独立。 所以，由分布定义可知 ～ 。 2.11 设 （） 是总体 ～ 的样本， 是样本均值， 是修正样本方差，另有 ～ ， 与 相互独立，证明： ～ 。 证法一 因为是总体～的样本，所以由定理2.5可知， ～。 另外已知～，它与相互独立，因此它也与相互独立，由正态分布的可加性可知 ～，即有 ～。 由定理2.8（Fisher引理）可知，～，而且与相互独立。另外又已知与相互独立，因此也与相互独立，所以 与 相互独立。 因此，由 分布的定义可知 ～ 。 证法二 因为 ～，可看作是另一个总体 ～的样本，样本容量 ，样本均值 。 由定理2.12可知 ～ ，其中 ， ， ， 。 所以有 ～ 。 2.12 设总体 ～ ，～ ，其中 ， 是已知常数， 。 是 的样本， 是 的样本，两个样本相互独立，，是的样本均值，， 是的修正样本方差。证明： ～ 。 证 因为 ～ ，～，所以由定理2.5可知 ～ ，～ ， 而且它们相互独立（因为两个样本相互独立），因此有 ～ ， 即有 ～ 。 同时，又因为 ～ ，～，所以由定理2.8（Fisher引理）可知 ～ ，～ ， 而且它们相互独立（因为两个样本相互独立），因此，根据 分布的可加性，有 ～ 。 因为与独立，与独立，两个样本又相互独立，所以 与 相互独立。 因此，由 分布的定义可知 ～ 。 18 9